Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é achar todas as funções
tais que (ou seja, as primitivas de ).
Passo 2
O que é uma primitiva?
Uma função é primitiva de
se, para todo
do domínio, vale
Uma função
Se
é uma primitiva de
, então todas as primitivas são da forma
, onde
é uma constante real (constante de integração). Vou usar essa ideia durante a resolução.
Passo 3
Propriedade fundamental que vou usar: linearidade da primitiva (ou da integral). Para funções
e
e constantes
vale
No nosso caso isso permite separar a primitiva de
em duas partes: uma para
e outra para
.
Passo 4
Primitiva de
.
Conhecimento usado: a derivada de é
, logo uma primitiva de
é
(mais uma constante). Aplicando o fator constante
podemos puxá-lo para fora:
Conhecimento usado: a derivada de
onde
é uma constante (que mais tarde será absorvida na constante geral).
Passo 5
Primitiva de
.
Usamos a regra da potência para primitivas: para ,
Usamos a regra da potência para primitivas: para
Aqui
é
, então
Como temos um sinal negativo,
onde
é outra constante (que também será absorvida na constante geral).
Passo 6
Agora somo as primitivas parciais usando a linearidade (e junto absorvo
e
numa única constante
). Assim a primitiva geral é
Passo 7
Verificação rápida (checagem): derivando
deve voltar
.
que coincide com
. Perfeito.
Passo 8
Observações finais e incentivo: a resposta é uma família de funções pois sempre aparece a constante
. Na prova, se pedirem “uma primitiva”, você pode dar um representante, por exemplo
(corresponde a
), mas se pedirem “todas as primitivas” não esqueça de colocar
.