Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 e^{x}-x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=2e^{x}-x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2e^{x}-x.
  • A tarefa é achar todas as funções F tais que F'(x)=f(x) (ou seja, as primitivas de f).

Passo 2

O que é uma primitiva?
Uma função F é primitiva de f se, para todo x do domínio, vale
F'(x)=f(x).
Se F é uma primitiva de f, então todas as primitivas são da forma F(x)+C, onde C é uma constante real (constante de integração). Vou usar essa ideia durante a resolução.

Passo 3

Propriedade fundamental que vou usar: linearidade da primitiva (ou da integral). Para funções g e h e constantes a,b vale
\int (a\,g(x)+b\,h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
No nosso caso isso permite separar a primitiva de f(x)=2e^{x}-x em duas partes: uma para 2e^{x} e outra para -x.

Passo 4

Primitiva de 2e^{x}.
Conhecimento usado: a derivada de e^{x} é e^{x}, logo uma primitiva de e^{x} é e^{x} (mais uma constante). Aplicando o fator constante 2 podemos puxá-lo para fora:
\int 2e^{x}\,dx = 2\int e^{x}\,dx = 2e^{x} + C_1,
onde C_1 é uma constante (que mais tarde será absorvida na constante geral).

Passo 5

Primitiva de -x.
Usamos a regra da potência para primitivas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x é x^{1}, então
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Como temos um sinal negativo,
\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C_2,
onde C_2 é outra constante (que também será absorvida na constante geral).

Passo 6

Agora somo as primitivas parciais usando a linearidade (e junto absorvo C_1 e C_2 numa única constante C). Assim a primitiva geral é
F(x)=2e^{x}-\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): derivando F deve voltar f.
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(2e^{x}\right)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+\frac{d}{dx}\text{(C)} =2e^{x}-x+0,
que coincide com f(x)=2e^{x}-x. Perfeito.

Passo 8

Observações finais e incentivo: a resposta é uma família de funções pois sempre aparece a constante C. Na prova, se pedirem “uma primitiva”, você pode dar um representante, por exemplo 2e^{x}-\dfrac{x^{2}}{2} (corresponde a C=0), mas se pedirem “todas as primitivas” não esqueça de colocar +C.

Resposta

F(x)=2e^{x}-\frac{x^{2}}{2}+C

Exercícios relacionados