Encontre as primitivas das funções:
f(x)=3 e^{x}-2 \sin x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas da função f(x)=3e^{x}-2\sin x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3e^{x}-2\sin x.
  • Precisa-se encontrar todas as primitivas (ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=f(x)).

Passo 2

O que é uma primitiva?
Uma função F é primitiva de f quando, para todo x do domínio, F'(x)=f(x). As primitivas não são únicas: se F é primitiva então F+C também é primitiva para qualquer constante C\in\mathbb{R}. Isso aparece como a constante de integração nas integrais indefinidas.

Passo 3

Lembrar as primitivas básicas que vamos usar:
  • A primitiva de e^{x} é e^{x}, porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Em símbolos:
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C.
  • A primitiva de \sin x é -\cos x, porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x. Em símbolos:
\int \sin x\,dx = -\cos x + C.

Passo 4

Usar a linearidade da integral: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, e constantes fatoram para fora da integral. Em fórmula:
\int \bigl(3e^{x}-2\sin x\bigr)\,dx = 3\int e^{x}\,dx - 2\int \sin x\,dx.
Isso vale porque a operação de derivação é linear, logo sua inversa (a primitiva/integral) também respeita linearidade.

Passo 5

Calcular cada integral usando as primitivas básicas do Passo 3:
3\int e^{x}\,dx = 3\bigl(e^{x}\bigr) = 3e^{x},
-2\int \sin x\,dx = -2\bigl(-\cos x\bigr) = 2\cos x.
Somando e acrescentando a constante de integração C, obtemos a família de primitivas
F(x)=3e^{x}+2\cos x + C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre faça na prova para garantir): derivando F,
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3e^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2\cos x\bigr)=3e^{x}+2(-\sin x)=3e^{x}-2\sin x,
que é exatamente f(x). Está correto!

Resposta

3e^{x}+2\cos x + C

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