Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 x^{2}-\sin x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2 x^{2}-\sin x e pede para encontrar as primitivas (ou antiderivadas) dessa função.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=2 x^{2}-\sin x.
O que se pede:
  • Encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Como sempre existem infinitas primitivas, devemos apresentar a família geral de primitivas com a constante de integração C.

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática): uma primitiva de f é qualquer função F cuja derivada é f. Em notação:
F'(x)=f(x).
A notação padrão para a operação de obter primitivas é o símbolo de integral indefinida:
\int f(x)\,dx = F(x)+C,
onde C é uma constante arbitrária (constante de integração). Importante: se F é uma primitiva de f, então todas as primitivas são F(x)+C com C\in\mathbb{R}.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de modo simples):
  • Linearidade: para funções u(x) e v(x) e constante a,
\int \big(a\,u(x)+v(x)\big)\,dx = a\int u(x)\,dx + \int v(x)\,dx.
Isto permite separar a integral soma por soma e tirar constantes para fora.
  • Regra da potência (para n\neq -1): se n é um número real,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência; por exemplo, para x^{2} temos n=2.
  • Primitivas básicas das funções trigonométricas:
\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C.
Essas vêm do fato de que \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x e \frac{d}{dx}\sin x = \cos x.

Passo 4

Aplicando a linearidade à nossa função:
\int \big(2 x^{2}-\sin x\big)\,dx = 2\int x^{2}\,dx - \int \sin x\,dx.
Ou seja, se achamos as duas primitivas à direita e subtrairmos, teremos a primitiva de f.

Passo 5

Calcular \int x^{2}\,dx usando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C_{1}.
Multiplicando por 2 (pela linearidade):
2\int x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3}.
(O C_{1} será absorvido na constante final.)

Passo 6

Calcular \int \sin x\,dx usando a primitiva conhecida:
\int \sin x\,dx = -\cos x + C_{2}.
Como na expressão original temos o sinal negativo antes da integral, obtém-se
- \int \sin x\,dx = -\big(-\cos x + C_{2}\big) = \cos x - C_{2}.
Novamente a constante -C_{2} se soma à constante geral.

Passo 7

Juntando os resultados das Passos 5 e 6 e reunindo as constantes numa só constante C, a primitiva geral fica:
F(x)=\frac{2}{3}x^{3}+\cos x + C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 8

Verificação rápida (como checar na prova): derivando F deve voltar f.
Calcule F'(x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 3x^{2}=2x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}\!\big(\cos x\big)=-\sin x, \qquad \frac{d}{dx}C=0.
Somando:
F'(x)=2x^{2}-\sin x,
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

F(x)=\frac{2}{3}x^{3}+\cos x + C

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