Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as primitivas (ou antiderivadas) dessa função.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.
O que se pede:
- Encontrar uma função
tal que . Como sempre existem infinitas primitivas, devemos apresentar a família geral de primitivas com a constante de integração .
Passo 2
Conceito essencial (explicação didática): uma primitiva de
é qualquer função
cuja derivada é
. Em notação:
A notação padrão para a operação de obter primitivas é o símbolo de integral indefinida:
onde
é uma constante arbitrária (constante de integração). Importante: se
é uma primitiva de
, então todas as primitivas são
com
.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de modo simples):
- Linearidade: para funções
e e constante ,
Isto permite separar a integral soma por soma e tirar constantes para fora.
- Regra da potência (para
): se é um número real,
Aqui
é o expoente da potência; por exemplo, para
temos
.
- Primitivas básicas das funções trigonométricas:
Essas vêm do fato de que
e
.
Passo 4
Aplicando a linearidade à nossa função:
Ou seja, se achamos as duas primitivas à direita e subtrairmos, teremos a primitiva de
.
Passo 5
Calcular
usando a regra da potência com
:
Multiplicando por
(pela linearidade):
(O
será absorvido na constante final.)
Passo 6
Calcular
usando a primitiva conhecida:
Como na expressão original temos o sinal negativo antes da integral, obtém-se
Novamente a constante
se soma à constante geral.
Passo 7
Juntando os resultados das Passos 5 e 6 e reunindo as constantes numa só constante
, a primitiva geral fica:
onde
é constante arbitrária real.
Passo 8
Verificação rápida (como checar na prova): derivando
deve voltar
.
Calcule :
Calcule
Somando:
que é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.