Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é combinação linear de
e com coeficientes e . - Deve-se fornecer a família de primitivas, ou seja, a antiderivada geral com a constante de integração.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais que vamos usar (explicadas com calma).
- Definição prática de primitiva: uma função
é primitiva de se . Ao resolver procuramos . - Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
Isto significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
- Primitivas básicas que precisamos:
-
. Explicação: a derivada de é , logo derivando obtemos . -
. Explicação: a derivada de é .
Aquié a constante de integração (qualquer número real), porque derivada de uma constante é zero.
-
Passo 3
Aplicando linearidade e as primitivas básicas à função dada.
Primeiro separamos os termos e puxamos constantes:
Primeiro separamos os termos e puxamos constantes:
Agora usamos as fórmulas da etapa anterior:
Passo 4
Montando a primitiva geral com a constante de integração.
Somando os resultados:
Somando os resultados:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Verificação por diferenciação (para ter certeza na hora da prova).
Calculamos :
Calculamos
que coincide com a função
. Logo
é realmente uma primitiva de
.
Passo 6
Dica prática para a prova (empurrãozinho motivador):
- Sempre que vir uma soma de senos e cossenos, aplique linearidade e use
e . - Não esqueça da constante
. Se quiser checar rápido, derive a resposta: deve voltar para . Vai dar certo — confia!