Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 \sin x-3 \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2\sin x-3\cos x e pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é combinação linear de \sin x e \cos x com coeficientes 2 e -3.
  • Deve-se fornecer a família de primitivas, ou seja, a antiderivada geral com a constante de integração.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais que vamos usar (explicadas com calma).
  • Definição prática de primitiva: uma função F(x) é primitiva de f(x) se F'(x)=f(x). Ao resolver \int f(x)\,dx procuramos F.
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções u,v,
\int \bigl(a\,u(x)+b\,v(x)\bigr)\,dx = a\int u(x)\,dx + b\int v(x)\,dx.
Isto significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.
  • Primitivas básicas que precisamos:
    • \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C. Explicação: a derivada de \cos x é -\sin x, logo derivando -\cos x obtemos \sin x.
    • \displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C. Explicação: a derivada de \sin x é \cos x.
      Aqui C é a constante de integração (qualquer número real), porque derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Aplicando linearidade e as primitivas básicas à função dada.
Primeiro separamos os termos e puxamos constantes:
\int \bigl(2\sin x - 3\cos x\bigr)\,dx = 2\int \sin x\,dx - 3\int \cos x\,dx.
Agora usamos as fórmulas da etapa anterior:
2\int \sin x\,dx = 2\bigl(-\cos x\bigr) = -2\cos x,
-3\int \cos x\,dx = -3\bigl(\sin x\bigr) = -3\sin x.

Passo 4

Montando a primitiva geral com a constante de integração.
Somando os resultados:
F(x) = -2\cos x - 3\sin x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Verificação por diferenciação (para ter certeza na hora da prova).
Calculamos F'(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2\cos x - 3\sin x + C\bigr)= -2(-\sin x) -3\cos x + 0 = 2\sin x - 3\cos x,
que coincide com a função f(x). Logo F é realmente uma primitiva de f.

Passo 6

Dica prática para a prova (empurrãozinho motivador):
  • Sempre que vir uma soma de senos e cossenos, aplique linearidade e use \int\sin x\,dx=-\cos x e \int\cos x\,dx=\sin x.
  • Não esqueça da constante C. Se quiser checar rápido, derive a resposta: deve voltar para f(x). Vai dar certo — confia!

Resposta

F(x) = -2\cos x - 3\sin x + C

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