Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função a ser integrada e pede suas primitivas. As informações dadas são:
- Função:
. - Pedido: encontrar todas as primitivas de
(ou seja, a família de funções tais que ).
Passo 2
O que significa “primitiva”: uma função
é primitiva de
quando a derivada de
é
,
As primitivas não são únicas: se
é primitiva então
também é primitiva para qualquer constante
. Por isso a resposta virá com uma constante de integração
.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Linearidade da integral: a integral (primitiva) de soma é soma das primitivas, e constantes saem na frente. Em símbolos, para constantes
e funções ,
- Regra do expoente (power rule) para primitivas: para
,
Aqui
é um número real que indica o expoente; a regra vem de inverter a derivação
.
Passo 4
Vamos aplicar a linearidade e a regra do expoente termo a termo. Escrevo a integral de
:
Pela linearidade,
Passo 5
Calculo do primeiro termo usando a regra do expoente com
:
Explicando: integrei
para obter
e multipliquei por
.
Passo 6
Calculo do segundo termo com
:
Explicando:
e então multiplica-se por
.
Passo 7
Calculo do terceiro termo (constante):
Explicando: a primitiva de
é
, logo a primitiva de
é
.
Passo 8
Juntando os três resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a família de primitivas:
Passo 9
Verificação rápida (para treinar na prova): derivando
temos
que coincide com
. Assim
é de fato uma primitiva de
.