Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{5}-3

Passo 1

O enunciado fornece a função a ser integrada e pede suas primitivas. As informações dadas são:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{5}-3.
  • Pedido: encontrar todas as primitivas de f (ou seja, a família de funções F tais que F'(x)=f(x)).

Passo 2

O que significa “primitiva”: uma função F é primitiva de f quando a derivada de F é f,
F'(x)=f(x).
As primitivas não são únicas: se F é primitiva então F+C também é primitiva para qualquer constante C\in\mathbb{R}. Por isso a resposta virá com uma constante de integração C.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Linearidade da integral: a integral (primitiva) de soma é soma das primitivas, e constantes saem na frente. Em símbolos, para constantes a,b e funções u,v,
\int (a\,u(x)+b\,v(x))\,dx = a\int u(x)\,dx + b\int v(x)\,dx.
  • Regra do expoente (power rule) para primitivas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui n é um número real que indica o expoente; a regra vem de inverter a derivação \dfrac{d}{dx} x^{n+1}=(n+1)x^{n}.

Passo 4

Vamos aplicar a linearidade e a regra do expoente termo a termo. Escrevo a integral de f:
\int f(x)\,dx = \int\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{5}-3\right)\,dx.
Pela linearidade,
\int f(x)\,dx = \frac{1}{2}\int x^{2}\,dx - \frac{1}{3}\int x^{5}\,dx - 3\int 1\,dx.

Passo 5

Calculo do primeiro termo usando a regra do expoente com n=2:
\frac{1}{2}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6}.
Explicando: integrei x^{2} para obter \dfrac{x^{3}}{3} e multipliquei por \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Calculo do segundo termo com n=5:
- \frac{1}{3}\int x^{5}\,dx = -\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{6}}{6} = -\frac{x^{6}}{18}.
Explicando: \int x^{5}\,dx=\dfrac{x^{6}}{6} e então multiplica-se por -\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Calculo do terceiro termo (constante):
-3\int 1\,dx = -3x.
Explicando: a primitiva de 1 é x, logo a primitiva de -3 é -3x.

Passo 8

Juntando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a família de primitivas:
F(x)=\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{6}}{18}-3x + C.

Passo 9

Verificação rápida (para treinar na prova): derivando F temos
F'(x)=\frac{3x^{2}}{6}-\frac{6x^{5}}{18}-3 = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{3}-3,
que coincide com f(x). Assim F é de fato uma primitiva de f.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{6}}{18}-3x + C

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