Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\cos x-\tan x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=\cos x-\tan x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos x-\tan x.
  • A primitiva F deve satisfazer F'(x)=f(x) em intervalos onde f está definida.
  • Lembrar que \tan x não está definida em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (para k\in\mathbb{Z}), então as primitivas são válidas em cada intervalo onde \cos x\neq0.

Passo 2

Primeiro passo prático: separar a integral em duas partes somadas. Integrar uma soma é integrar termo a termo. Assim, pegamos
\int f(x)\,dx=\int\bigl(\cos x-\tan x\bigr)\,dx=\int\cos x\,dx-\int\tan x\,dx.
A ideia é encontrar as duas primitivas separadamente e depois combinar.

Passo 3

Integrando o primeiro termo: \int\cos x\,dx.
Recordando: a derivada de \sin x é \cos x. Logo uma primitiva de \cos x é \sin x. Em matemática:
\int\cos x\,dx=\sin x + C_1,
onde C_1 é constante de integração (vamos combinar constantes no final).

Passo 4

Integrando o segundo termo: \int\tan x\,dx.
Usamos a identidade \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e uma substituição simples. Seja u=\cos x. Então
du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -du=\sin x\,dx.
Substituindo em \int\tan x\,dx=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx obtemos
\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int\frac{-du}{u} = -\int\frac{du}{u}.
A primitiva de 1/u é \ln|u|. Portanto
\int\tan x\,dx = -\ln|u| + C_2 = -\ln|\cos x| + C_2.
Observação didática: o valor absoluto aparece porque a função \ln u só está definida para u>0; ao voltar para a variável x precisamos aceitar \cos x positivo ou negativo, então escrevemos \ln|\cos x|. Também por isso a primitiva é considerada em intervalos onde \cos x não zera.

Passo 5

Agora juntamos os resultados das duas integrais:
\int\bigl(\cos x-\tan x\bigr)\,dx = \bigl(\sin x + C_1\bigr) - \bigl(-\ln|\cos x| + C_2\bigr).
Reagrupando as constantes ( C=C_1-C_2) obtemos a família de primitivas
F(x)=\sin x + \ln|\cos x| + C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática em prova): derivar F deve voltar f.
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\ln|\cos x|\bigr)=\cos x + \frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=\cos x-\tan x,
ou seja, confere.

Passo 7

Observação final para a prova: declare sempre que a primitiva está definida em cada intervalo onde \cos x\neq0 (ou seja, em cada intervalo (\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+(k+1)\pi) para algum k\in\mathbb{Z}). No entanto, a expressão \sin x+\ln|\cos x|+C descreve a família de primitivas em qualquer desses intervalos, com C constante arbitrária.

Resposta

\sin x+\ln|\cos x|+C

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