Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A primitiva
deve satisfazer em intervalos onde está definida. - Lembrar que
não está definida em (para ), então as primitivas são válidas em cada intervalo onde .
Passo 2
Primeiro passo prático: separar a integral em duas partes somadas. Integrar uma soma é integrar termo a termo. Assim, pegamos
A ideia é encontrar as duas primitivas separadamente e depois combinar.
Passo 3
Integrando o primeiro termo:
.
Recordando: a derivada de
é
. Logo uma primitiva de
é
. Em matemática:
onde
é constante de integração (vamos combinar constantes no final).
Passo 4
Integrando o segundo termo:
.
Usamos a identidade
e uma substituição simples. Seja
. Então
Substituindo em
obtemos
A primitiva de
é
. Portanto
Observação didática: o valor absoluto aparece porque a função
só está definida para
; ao voltar para a variável
precisamos aceitar
positivo ou negativo, então escrevemos
. Também por isso a primitiva é considerada em intervalos onde
não zera.
Passo 5
Agora juntamos os resultados das duas integrais:
Reagrupando as constantes (
) obtemos a família de primitivas
Passo 6
Verificação rápida (boa prática em prova): derivar
deve voltar
.
ou seja, confere.
Passo 7
Observação final para a prova: declare sempre que a primitiva está definida em cada intervalo onde
(ou seja, em cada intervalo
para algum
). No entanto, a expressão
descreve a família de primitivas em qualquer desses intervalos, com
constante arbitrária.