Encontre as primitivas pela regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas de
. Informações dadas:
é a função integranda, a variável de integração é
e queremos uma primitiva (ou família de primitivas) — ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Regra da substituição (lembrete didático): se tivermos uma integral da forma
, podemos fazer a troca
, obter
e reescrever a integral como
. Aqui
é a nova variável,
é sua diferencial, e essa mudança simplifica a integração quando
complica a expressão.
Passo 3
Escolhemos a substituição apropriada para o nosso caso. Como o argumento do seno é
, tomamos
Agora calculamos
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Como
é constante em relação a
, fatoramos:
Passo 5
Integramos
. Sabendo que uma primitiva de
é
(porque
), temos
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação (checagem rápida): derivando a primitiva encontrada,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. Você conseguiu — é exatamente o padrão clássico:
.