Encontre as primitivas pela regra da substituição
\int \sin (\pi t) d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas de \displaystyle \int \sin(\pi t)\, dt. Informações dadas:
\sin(\pi t) é a função integranda, a variável de integração é t e queremos uma primitiva (ou família de primitivas) — ou seja, uma função F(t) tal que F'(t)=\sin(\pi t).

Passo 2

Regra da substituição (lembrete didático): se tivermos uma integral da forma \displaystyle \int f(g(t))\,g'(t)\,dt, podemos fazer a troca u=g(t), obter du=g'(t)\,dt e reescrever a integral como \displaystyle \int f(u)\,du. Aqui u é a nova variável, du é sua diferencial, e essa mudança simplifica a integração quando g(t) complica a expressão.

Passo 3

Escolhemos a substituição apropriada para o nosso caso. Como o argumento do seno é \pi t, tomamos
u=\pi t.
Agora calculamos du:
du=\pi\,dt.
Isolando dt obtemos
dt=\frac{du}{\pi}.

Passo 4

Substituímos u e dt na integral original:
\int \sin(\pi t)\,dt = \int \sin(u)\,\frac{du}{\pi}.
Como \frac{1}{\pi} é constante em relação a u, fatoramos:
\int \sin(\pi t)\,dt = \frac{1}{\pi}\int \sin(u)\,du.

Passo 5

Integramos \sin(u). Sabendo que uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u) (porque \frac{d}{du}[-\cos(u)]=\sin(u)), temos
\frac{1}{\pi}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{\pi}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{\pi}\cos(u) + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original t substituindo u=\pi t:
\int \sin(\pi t)\,dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C.

Passo 7

Verificação (checagem rápida): derivando a primitiva encontrada,
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right) = -\frac{1}{\pi}\cdot\bigl(-\sin(\pi t)\bigr)\cdot\pi = \sin(\pi t),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. Você conseguiu — é exatamente o padrão clássico: \int \sin(a t)\,dt = -\dfrac{1}{a}\cos(a t)+C.

Resposta

-\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi t)+C

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