calcular a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento
: e . - Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida), que deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Escolha da estratégia (explicando devagar e de forma prática):
Quando temos uma integral do tipo e um dos expoentes é ímpar, a técnica padrão é “separar” um fator da função com expoente ímpar (por exemplo, um
) e usar a identidade
para transformar o resto em função de
; aí fazemos a substituição
. Aqui o mesmo raciocínio vale para o argumento
: como o expoente de
é ímpar (
), vamos separar um fator
e usar
. Em seguida faremos
. Vou aplicar isso passo a passo.
Quando temos uma integral do tipo
Passo 3
Aplicando a identidade
e separando um fator
:
Agora multiplico o parêntese pelos potes de cosseno:
Portanto o integrando fica
Passo 4
Fazendo a substituição apropriada. Defino
Vou calcular
. Usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
que é
. Logo
Isso significa que, em diferencial,
Essa igualdade é útil porque temos exatamente um fator
no integrando após a manipulação do Passo 3.
Passo 5
Substituindo tudo na integral. A integral original torna-se
Com
e
, obtemos
Retirando o fator constante:
Passo 6
Integrando o polinômio em
. Integramos termo a termo:
Portanto
Multiplicando o
pelos termos:
Passo 7
Volto à variável
substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando a resposta encontramos o integrando.
Calculo a derivada de .
Usando regra da cadeia e regra da potência:
Calculo a derivada de
Usando regra da cadeia e regra da potência:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:
que é exatamente
pela identidade usada antes. Logo a primitiva está correta.