calcular a integral indefinida.
\int \operatorname{sen}^{3}(2 \theta) \cos ^{4}(2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3}(2\theta)\cos^{4}(2\theta)\,d\theta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é o produto de potências de seno e cosseno com o mesmo argumento 2\theta: \operatorname{sen}^{3}(2\theta) e \cos^{4}(2\theta).
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida), que deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Escolha da estratégia (explicando devagar e de forma prática):
Quando temos uma integral do tipo \int \sin^{m} x \cos^{n} x\,dx e um dos expoentes é ímpar, a técnica padrão é “separar” um fator da função com expoente ímpar (por exemplo, um \sin x) e usar a identidade \sin^2 x = 1-\cos^2 x para transformar o resto em função de \cos x; aí fazemos a substituição u=\cos x. Aqui o mesmo raciocínio vale para o argumento 2\theta: como o expoente de \operatorname{sen}(2\theta) é ímpar ( 3), vamos separar um fator \operatorname{sen}(2\theta) e usar \operatorname{sen}^2(2\theta)=1-\cos^2(2\theta). Em seguida faremos u=\cos(2\theta). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando a identidade \operatorname{sen}^2(2\theta)=1-\cos^2(2\theta) e separando um fator \operatorname{sen}(2\theta):
\operatorname{sen}^{3}(2\theta)\cos^{4}(2\theta) = \big(\operatorname{sen}^2(2\theta)\big)\operatorname{sen}(2\theta)\cos^{4}(2\theta) = \big(1-\cos^2(2\theta)\big)\operatorname{sen}(2\theta)\cos^{4}(2\theta).
Agora multiplico o parêntese pelos potes de cosseno:
\big(1-\cos^2(2\theta)\big)\cos^{4}(2\theta) = \cos^{4}(2\theta)-\cos^{6}(2\theta).
Portanto o integrando fica
\operatorname{sen}^{3}(2\theta)\cos^{4}(2\theta) = \operatorname{sen}(2\theta)\big(\cos^{4}(2\theta)-\cos^{6}(2\theta)\big).

Passo 4

Fazendo a substituição apropriada. Defino
u=\cos(2\theta).
Vou calcular du. Usando a regra da cadeia: a derivada de \cos(2\theta) em relação a \theta é -\sin(2\theta) vezes a derivada de 2\theta que é 2. Logo
\frac{du}{d\theta} = -2\sin(2\theta).
Isso significa que, em diferencial,
\sin(2\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{2}\,du.
Essa igualdade é útil porque temos exatamente um fator \sin(2\theta)\,d\theta no integrando após a manipulação do Passo 3.

Passo 5

Substituindo tudo na integral. A integral original torna-se
\int \operatorname{sen}(2\theta)\big(\cos^{4}(2\theta)-\cos^{6}(2\theta)\big)\,d\theta.
Com u=\cos(2\theta) e \sin(2\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{2}du, obtemos
\int \operatorname{sen}(2\theta)\big(\cos^{4}(2\theta)-\cos^{6}(2\theta)\big)\,d\theta = \int \big(u^{4}-u^{6}\big)\left(\sin(2\theta)\,d\theta\right) = \int \big(u^{4}-u^{6}\big)\left(-\tfrac{1}{2}du\right).
Retirando o fator constante:
= -\tfrac{1}{2}\int \big(u^{4}-u^{6}\big)\,du.

Passo 6

Integrando o polinômio em u. Integramos termo a termo:
\int u^{4}\,du = \tfrac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{6}\,du = \tfrac{u^{7}}{7}.
Portanto
-\tfrac{1}{2}\int \big(u^{4}-u^{6}\big)\,du = -\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{u^{5}}{5}-\tfrac{u^{7}}{7}\right)+C.
Multiplicando o -\tfrac{1}{2} pelos termos:
= -\tfrac{u^{5}}{10} + \tfrac{u^{7}}{14} + C.

Passo 7

Volto à variável \theta substituindo u=\cos(2\theta):
-\tfrac{u^{5}}{10} + \tfrac{u^{7}}{14} + C = -\tfrac{1}{10}\cos^{5}(2\theta) + \tfrac{1}{14}\cos^{7}(2\theta) + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando a resposta encontramos o integrando.
Calculo a derivada de -\tfrac{1}{10}\cos^{5}(2\theta) + \tfrac{1}{14}\cos^{7}(2\theta).
Usando regra da cadeia e regra da potência:
  • Derivada de -\tfrac{1}{10}\cos^{5}(2\theta) é -\tfrac{1}{10}\cdot 5\cos^{4}(2\theta)\cdot(-\sin(2\theta))\cdot 2 = \cos^{4}(2\theta)\sin(2\theta).
  • Derivada de \tfrac{1}{14}\cos^{7}(2\theta) é \tfrac{1}{14}\cdot 7\cos^{6}(2\theta)\cdot(-\sin(2\theta))\cdot 2 = -\cos^{6}(2\theta)\sin(2\theta).
    Somando:
\cos^{4}(2\theta)\sin(2\theta)-\cos^{6}(2\theta)\sin(2\theta) = \sin(2\theta)\big(\cos^{4}(2\theta)-\cos^{6}(2\theta)\big),
que é exatamente \operatorname{sen}^{3}(2\theta)\cos^{4}(2\theta) pela identidade usada antes. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{10}\cos^{5}(2\theta)+\tfrac{1}{14}\cos^{7}(2\theta)+C

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