calcular a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é o produto de
por . -
é uma constante (não depende de ). - A variável de integração é
.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma funçãotal que .
Passo 2
Aplicar a propriedade do fator constante: se
é constante então
Aqui
e
. Logo podemos escrever
Explicação didática: é como puxar uma constante para fora da integral — não altera a operação de integração sobre a parte que depende de
.
Passo 3
Para integrar
usamos uma substituição simples para simplificar a aparência (essa é a substituição padrão quando aparece
):
Defina
Defina
Então derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Portanto a integral em
transforma-se sem complicação em uma integral em
:
Observação: como
, não há fator adicional — é uma mudança direta de variável.
Passo 4
Aplicar a regra da potência para integrais: para
,
No nosso caso
, portanto
Explicação da fórmula: a operação inversa da diferenciação de
dá novamente
multiplicado pelo expoente, e ao integrar compensamos esse fator dividindo por
.
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Lembrando do fator constante
que puxamos para fora, a primitiva da integral original é
Passo 6
Verificação alternativa (útil para confirmação): expandindo
e integrando termo a termo,
Ao fatorar
obtemos
o mesmo resultado, então está consistente.
Passo 7
Resumo final e dica de prova: sempre que vir um número como
multiplicando uma expressão em
, trate-o como constante e puxe para fora da integral. Para polinômios do tipo
a substituição
simplifica muito; depois use a regra da potência.