calcular a integral indefinida.
\int(x+3)^{2} e^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x+3)^{2} e^{2}\, dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é o produto de (x+3)^{2} por e^{2}.
  • e^{2} é uma constante (não depende de x).
  • A variável de integração é x.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) = (x+3)^{2} e^{2}.

Passo 2

Aplicar a propriedade do fator constante: se c é constante então
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
Aqui c = e^{2} e f(x)=(x+3)^{2}. Logo podemos escrever
\int (x+3)^{2} e^{2}\,dx = e^{2}\int (x+3)^{2}\,dx.
Explicação didática: é como puxar uma constante para fora da integral — não altera a operação de integração sobre a parte que depende de x.

Passo 3

Para integrar \int (x+3)^{2}\,dx usamos uma substituição simples para simplificar a aparência (essa é a substituição padrão quando aparece x+3):
Defina
u = x+3.
Então derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = dx.
Portanto a integral em x transforma-se sem complicação em uma integral em u:
\int (x+3)^{2}\,dx = \int u^{2}\,du.
Observação: como du=dx, não há fator adicional — é uma mudança direta de variável.

Passo 4

Aplicar a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=2, portanto
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Explicação da fórmula: a operação inversa da diferenciação de u^{n+1} dá novamente u^{n} multiplicado pelo expoente, e ao integrar compensamos esse fator dividindo por n+1.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u = x+3:
\int (x+3)^{2}\,dx = \frac{(x+3)^{3}}{3} + C.
Lembrando do fator constante e^{2} que puxamos para fora, a primitiva da integral original é
e^{2}\cdot\frac{(x+3)^{3}}{3} + C = \frac{e^{2}}{3}(x+3)^{3} + C.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para confirmação): expandindo (x+3)^{2}=x^{2}+6x+9 e integrando termo a termo,
\int (x^{2}+6x+9)e^{2}\,dx = e^{2}\left(\int x^{2}\,dx + 6\int x\,dx + 9\int 1\,dx\right)
= e^{2}\left(\frac{x^{3}}{3} + 6\cdot\frac{x^{2}}{2} + 9x\right)+C = e^{2}\left(\frac{x^{3}}{3} + 3x^{2} + 9x\right)+C.
Ao fatorar \frac{e^{2}}{3} obtemos
\frac{e^{2}}{3}\bigl(x^{3} + 9x^{2} + 27x\bigr)+C = \frac{e^{2}}{3}(x+3)^{3}+C,
o mesmo resultado, então está consistente.

Passo 7

Resumo final e dica de prova: sempre que vir um número como e^{2} multiplicando uma expressão em x, trate-o como constante e puxe para fora da integral. Para polinômios do tipo (x+a)^{n} a substituição u=x+a simplifica muito; depois use a regra da potência.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2}}{3}(x+3)^{3}+C

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