Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma função
tal que .
Não há outras condições (por isso a resposta terá uma constante arbitrária de integração).
Passo 2
Vou usar a técnica chamada integração por partes. A fórmula básica é
Explicando bem: aqui
e
são funções de
. A ideia é escolher
de modo que sua derivada
seja mais simples, e escolher
de modo que seja fácil encontrar uma primitiva
(ou seja, integrar
). A fórmula vem da regra do produto para derivadas aplicada “ao contrário”.
Passo 3
Escolha pragmática para este integrando
: tomar a parte algébrica como
para reduzi-la ao derivar, e a parte trigonométrica como
para integrar facilmente. Assim:
Agora calculamos
e
:
Para
precisamos de uma primitiva de
. Como
, tem-se
logo
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Fatorando a constante
no segundo termo:
Agora integramos
. Sabendo que
, obtemos
Substituindo:
Simplificando os sinais e constantes:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada deve voltar o integrando. Derivando
como desejado. Perfeito — a primitiva está correta.