Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x \cos \pi x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar primitivas (antiderivadas) da função f(x)=x\cos\pi x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=x\cos\pi x.
  • Quer-se uma função F(x) tal que F'(x)=x\cos\pi x.
    Não há outras condições (por isso a resposta terá uma constante arbitrária de integração).

Passo 2

Vou usar a técnica chamada integração por partes. A fórmula básica é
\int u\,dv = u v - \int v\,du
Explicando bem: aqui u e v são funções de x. A ideia é escolher u de modo que sua derivada du seja mais simples, e escolher dv de modo que seja fácil encontrar uma primitiva v (ou seja, integrar dv). A fórmula vem da regra do produto para derivadas aplicada “ao contrário”.

Passo 3

Escolha pragmática para este integrando x\cos\pi x: tomar a parte algébrica como u para reduzi-la ao derivar, e a parte trigonométrica como dv para integrar facilmente. Assim:
u = x,\qquad dv = \cos\pi x\,dx
Agora calculamos du e v:
du = dx
Para v precisamos de uma primitiva de \cos\pi x. Como \dfrac{d}{dx}\big(\sin\pi x\big)=\pi\cos\pi x, tem-se
\int \cos\pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\sin\pi x,
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v=\frac{1}{\pi}\sin\pi x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int x\cos\pi x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x\cos\pi x\,dx = x\cdot\frac{1}{\pi}\sin\pi x - \int \frac{1}{\pi}\sin\pi x\;dx.
Fatorando a constante \dfrac{1}{\pi} no segundo termo:
\int x\cos\pi x\,dx = \frac{x}{\pi}\sin\pi x - \frac{1}{\pi}\int \sin\pi x\;dx.
Agora integramos \sin\pi x. Sabendo que \dfrac{d}{dx}\big(\cos\pi x\big)=-\pi\sin\pi x, obtemos
\int \sin\pi x\;dx = -\frac{1}{\pi}\cos\pi x.
Substituindo:
\int x\cos\pi x\,dx = \frac{x}{\pi}\sin\pi x - \frac{1}{\pi}\left(-\frac{1}{\pi}\cos\pi x\right).
Simplificando os sinais e constantes:
\int x\cos\pi x\,dx = \frac{x}{\pi}\sin\pi x + \frac{1}{\pi^{2}}\cos\pi x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada deve voltar o integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\pi}\sin\pi x + \frac{1}{\pi^{2}}\cos\pi x\right) = \frac{1}{\pi}\sin\pi x + x\cos\pi x - \frac{1}{\pi}\sin\pi x = x\cos\pi x,
como desejado. Perfeito — a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x}{\pi}\sin\pi x+\frac{1}{\pi^{2}}\cos\pi x + C

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