Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x^{2} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (integrais indefinidas) da função f(x)=x^{2}\cos x usando o método da integração por partes.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=x^{2}\cos x.
  • Deve-se usar integração por partes (pelo enunciado).

Passo 2

Breve aula: fórmula e ideia da integração por partes.
Começa-se da regra do produto na diferenciação:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integramos ambos os lados:
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
A integral do lado esquerdo é uv. Reorganizando obtemos a fórmula usada:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que vamos derivar (gera du),
  • dv é a parte que vamos integrar (gera v).
    Dica prática: escolha u de modo que sua derivada simplifique (por exemplo um polinômio) e escolha dv fácil de integrar (por exemplo \cos x, \sin x, exponenciais). Isso reduz o problema. Agora aplicamos isso ao nosso caso.

Passo 3

Primeira aplicação da fórmula. Escolhemos
u=x^{2},\qquad dv=\cos x\,dx.
Calculamos du e v:
du=\frac{d}{dx}(x^{2})\,dx=2x\,dx, \qquad v=\int \cos x\,dx=\sin x.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int \sin x\cdot(2x)\,dx.
Escrevendo de forma mais limpa:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - 2\int x\sin x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int x\sin x\,dx. Aplicamos integração por partes novamente. Escolhemos
u=x,\qquad dv=\sin x\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int \sin x\,dx=-\cos x.
Aplicando a fórmula:
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Multiplicando pelo fator 2 que apareceu no passo anterior:
2\int x\sin x\,dx = 2\big(-x\cos x + \sin x\big) = -2x\cos x + 2\sin x.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \big(-2x\cos x + 2\sin x\big).
Removendo parêntesis e simplificando:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (checa que não deu bobeira): derivar a primitiva encontrada e ver se volta a x^{2}\cos x. Seja
F(x)=x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x.
Calcule F'(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}\sin x)+\frac{d}{dx}(2x\cos x)-\frac{d}{dx}(2\sin x).
Derivando termo a termo (uso da regra do produto onde necessário):
\frac{d}{dx}(x^{2}\sin x)=2x\sin x + x^{2}\cos x,
\frac{d}{dx}(2x\cos x)=2\cos x - 2x\sin x,
\frac{d}{dx}(2\sin x)=2\cos x.
Somando:
F'(x)=(2x\sin x + x^{2}\cos x) + (2\cos x - 2x\sin x) - 2\cos x = x^{2}\cos x.
Confere certinho com f(x).

Resposta

\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C

Exercícios relacionados