Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (integrais indefinidas) da função
usando o método da integração por partes.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Deve-se usar integração por partes (pelo enunciado).
Passo 2
Breve aula: fórmula e ideia da integração por partes.
Começa-se da regra do produto na diferenciação:
Começa-se da regra do produto na diferenciação:
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
. Reorganizando obtemos a fórmula usada:
Aqui:
-
é uma função que vamos derivar (gera ), -
é a parte que vamos integrar (gera ).
Dica prática: escolhade modo que sua derivada simplifique (por exemplo um polinômio) e escolha fácil de integrar (por exemplo , , exponenciais). Isso reduz o problema. Agora aplicamos isso ao nosso caso.
Passo 3
Primeira aplicação da fórmula. Escolhemos
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula
:
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aplicamos integração por partes novamente. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Multiplicando pelo fator
que apareceu no passo anterior:
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
Removendo parêntesis e simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (checa que não deu bobeira): derivar a primitiva encontrada e ver se volta a
. Seja
Calcule
:
Derivando termo a termo (uso da regra do produto onde necessário):
Somando:
Confere certinho com
.