Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de
usando o método da substituição. Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - Deve-se fornecer uma primitiva
tal que . - Implicitamente, o domínio natural onde
está definida é (porque aparece ).
Passo 2
Lembrete rápido do método da substituição (explicação didática): a ideia é trocar a variável
por uma nova variável
de modo que a integral fique mais simples. Se escolhermos uma substituição
, então
. Em particular, quando aparece
junto com
, uma escolha natural é
, porque
. Isso transforma o diferencial
simplesmente em
.
Passo 3
Fazendo a substituição sugerida:
Calcula-se o diferencial:
Portanto
se torna
. Logo a integral da função é
Passo 4
Agora integramos em
. A regra básica de potências para primitivas diz que, para
,
Aplicando com
,
Voltando à variável
(substituindo
),
Passo 5
Verificação rápida (confirmação, muito útil na prova): derivando a primitiva encontrada deve-se obter
. Usando a regra da cadeia,
confirmando que a primitiva está correta. Lembre-se do constante de integração
.
Passo 6
Dica prática para a prova (generalização útil): para qualquer inteiro
,
Isso vem exatamente do mesmo raciocínio: substitua
e integre
.