Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\frac{(\ln x)^{3}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de f(x)=\dfrac{(\ln x)^{3}}{x} usando o método da substituição. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\dfrac{(\ln x)^{3}}{x}.
  • Deve-se fornecer uma primitiva F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Implicitamente, o domínio natural onde f está definida é x>0 (porque aparece \ln x).

Passo 2

Lembrete rápido do método da substituição (explicação didática): a ideia é trocar a variável x por uma nova variável u de modo que a integral fique mais simples. Se escolhermos uma substituição u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Em particular, quando aparece \dfrac{1}{x}\,dx junto com \ln x, uma escolha natural é u=\ln x, porque d(\ln x)=\dfrac{1}{x}\,dx. Isso transforma o diferencial \dfrac{1}{x}\,dx simplesmente em du.

Passo 3

Fazendo a substituição sugerida:
u=\ln x.
Calcula-se o diferencial:
du=\dfrac{1}{x}\,dx.
Portanto \dfrac{(\ln x)^{3}}{x}\,dx se torna u^{3}\,du. Logo a integral da função é
\int \dfrac{(\ln x)^{3}}{x}\,dx = \int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. A regra básica de potências para primitivas diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=3,
\int u^{3}\,du = \dfrac{u^{4}}{4}+C.
Voltando à variável x (substituindo u=\ln x),
\int \dfrac{(\ln x)^{3}}{x}\,dx = \dfrac{(\ln x)^{4}}{4}+C.

Passo 5

Verificação rápida (confirmação, muito útil na prova): derivando a primitiva encontrada deve-se obter f(x). Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\dfrac{(\ln x)^{4}}{4}\right) = \dfrac{1}{4}\cdot 4(\ln x)^{3}\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln x) = (\ln x)^{3}\cdot \dfrac{1}{x} =\dfrac{(\ln x)^{3}}{x},
confirmando que a primitiva está correta. Lembre-se do constante de integração C.

Passo 6

Dica prática para a prova (generalização útil): para qualquer inteiro n\neq -1,
\int \dfrac{(\ln x)^{n}}{x}\,dx = \dfrac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}+C.
Isso vem exatamente do mesmo raciocínio: substitua u=\ln x e integre u^{n}.

Resposta

F(x)=\dfrac{(\ln x)^{4}}{4}+C

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