Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x \operatorname{sec} ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de f(x)=x\operatorname{sec}^{2}x. Ou seja, devemos calcular a integral indefinida
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Informações dadas importantes:
  • A função que vamos integrar é x\operatorname{sec}^{2}x.
  • Em pontos onde \cos x=0 a função \operatorname{sec}^{2}x não está definida; portanto a primitiva vale nos intervalos onde \cos x\neq0.
  • O objetivo é achar uma expressão F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{sec}^{2}x, mais uma constante de integração.

Passo 2

Vamos usar o método da integração por partes. Primeiro, a fórmula de integração por partes é esta:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que escolhemos, e du é a sua diferencial, isto é du = u'(x)\,dx.
  • dv é o resto do integrando escrito como diferencial; v é uma primitiva de dv, portanto v=\int dv.
    A ideia prática: escolhe-se u de modo que du seja mais simples que u, e escolhe-se dv de modo que seja fácil achar v=\int dv.
Dica prática (útil na prova): quando tiver um produto de um polinômio (ou x) com uma função trigonométrica, costuma-se escolher u como o fator algébrico (aqui x) e dv como a parte trigonométrica.

Passo 3

Fazendo a escolha sugerida:
u = x,\qquad dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Calculemos du e v:
du = dx
porque a derivada de x é 1, e
v = \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x,
pois sabemos que \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\cdot \tan x - \int \tan x\,dx.

Passo 5

Agora precisamos calcular \int \tan x\,dx. Lembrete: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma forma padrão de integrar é usar a substituição w=\cos x. Fazendo isso:
w=\cos x \quad\Rightarrow\quad dw = -\sin x\,dx.
Então
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-dw}{w} = -\int \frac{1}{w}\,dw = -\ln|w| + C = -\ln|\cos x| + C.
Portanto
\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.

Passo 6

Voltando para a expressão obtida no Passo 4:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \bigl(-\ln|\cos x|\bigr) + C = x\tan x + \ln|\cos x| + C.
Podemos escrever a constante de integração uma vez só no final. Observação sobre forma equivalente: como \ln|\cos x| = -\ln|\operatorname{sec} x|, outra forma comum da primitiva é
x\tan x - \ln|\operatorname{sec} x| + C,
mas a forma x\tan x + \ln|\cos x| + C é perfeitamente correta.

Passo 7

Verificação rápida (dá segurança na hora da prova): deriva-se a primitiva encontrada para checar se volta a x\operatorname{sec}^{2}x.
Derivando F(x)=x\tan x + \ln|\cos x|:
F'(x)=\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x + \frac{d}{dx}\bigl(\ln|\cos x|\bigr).
E
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|\cos x|\bigr)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Somando os termos:
F'(x)=\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x - \tan x = x\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente f(x). Verificação concluída.

Resposta

x\tan x + \ln|\cos x| + C

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