Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de
. Ou seja, devemos calcular a integral indefinida
Informações dadas importantes:
- A função que vamos integrar é
. - Em pontos onde
a função não está definida; portanto a primitiva vale nos intervalos onde . - O objetivo é achar uma expressão
tal que , mais uma constante de integração.
Passo 2
Vamos usar o método da integração por partes. Primeiro, a fórmula de integração por partes é esta:
Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que escolhemos, e é a sua diferencial, isto é . -
é o resto do integrando escrito como diferencial; é uma primitiva de , portanto .
A ideia prática: escolhe-sede modo que seja mais simples que , e escolhe-se de modo que seja fácil achar .
Dica prática (útil na prova): quando tiver um produto de um polinômio (ou
) com uma função trigonométrica, costuma-se escolher
como o fator algébrico (aqui
) e
como a parte trigonométrica.
Passo 3
Fazendo a escolha sugerida:
Calculemos
e
:
porque a derivada de
é
, e
pois sabemos que
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Lembrete:
. Uma forma padrão de integrar é usar a substituição
. Fazendo isso:
Então
Portanto
Passo 6
Voltando para a expressão obtida no Passo 4:
Podemos escrever a constante de integração uma vez só no final. Observação sobre forma equivalente: como
, outra forma comum da primitiva é
mas a forma
é perfeitamente correta.
Passo 7
Verificação rápida (dá segurança na hora da prova): deriva-se a primitiva encontrada para checar se volta a
.
Derivando :
Derivando
E
Somando os termos:
que é exatamente
. Verificação concluída.