Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=e^{x}\cos x. Ou seja, calcular a integral indefinida
\int e^{x}\cos x\,dx.
Informações dadas:
  • A função é produto de e^{x} e \cos x.
  • Quer-se uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicação didática do método a aplicar). Quando temos uma integral de um produto onde uma parte se reproduz ao derivar (como e^{x}) e a outra é trigonométrica ( \cos x ou \sin x), uma técnica eficiente é aplicar integração por partes duas vezes e usar a relação obtida para resolver a integral. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a partir do integrando, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv.
Aqui vou definir a integral procurada por
I=\int e^{x}\cos x\,dx.

Passo 3

Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
u = e^{x},\qquad dv = \cos x\,dx.
Então
du = e^{x}\,dx,\qquad v=\int \cos x\,dx=\sin x.
Aplicando a fórmula:
I = e^{x}\sin x - \int \sin x\cdot e^{x}\,dx.
Definindo a integral que apareceu:
J=\int e^{x}\sin x\,dx,
temos
I = e^{x}\sin x - J.

Passo 4

Segunda aplicação de integração por partes para calcular J. Escolho novamente o mesmo tipo de separação:
u = e^{x},\qquad dv = \sin x\,dx.
Então
du = e^{x}\,dx,\qquad v=\int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando a fórmula:
J = e^{x}(-\cos x) - \int (-\cos x)\cdot e^{x}\,dx.
Isso simplifica para
J = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx.
Mas a integral à direita é exatamente I. Logo
J = -e^{x}\cos x + I.

Passo 5

Voltar à relação do Passo 3 e substituir J obtido no Passo 4. Lembrando I = e^{x}\sin x - J, substituindo:
I = e^{x}\sin x - \bigl(-e^{x}\cos x + I\bigr).
Desenvolvendo os sinais:
I = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x - I.
Agora isolamos I somando I aos dois lados:
2I = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x.
Logo
I = \frac{1}{2} e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova: sempre que puder, confirme diferenciando). Derivando a função encontrada:
\frac{d}{dx}\!\left[\frac{1}{2} e^{x}(\sin x + \cos x)\right] =\frac{1}{2} e^{x}(\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} e^{x}(\cos x - \sin x).
Somando os termos:
\frac{1}{2} e^{x}\bigl((\sin x + \cos x)+(\cos x - \sin x)\bigr) =\frac{1}{2} e^{x}(2\cos x)=e^{x}\cos x,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin x+\cos x\bigr)+C

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