Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
. Ou seja, calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função é produto de
e . - Quer-se uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicação didática do método a aplicar). Quando temos uma integral de um produto onde uma parte se reproduz ao derivar (como
) e a outra é trigonométrica (
ou
), uma técnica eficiente é aplicar integração por partes duas vezes e usar a relação obtida para resolver a integral. A fórmula de integração por partes é:
onde
e
são escolhidos a partir do integrando,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
Aqui vou definir a integral procurada por
Aqui vou definir a integral procurada por
Passo 3
Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Definindo a integral que apareceu:
temos
Passo 4
Segunda aplicação de integração por partes para calcular
. Escolho novamente o mesmo tipo de separação:
Então
Aplicando a fórmula:
Isso simplifica para
Mas a integral à direita é exatamente
. Logo
Passo 5
Voltar à relação do Passo 3 e substituir
obtido no Passo 4. Lembrando
, substituindo:
Desenvolvendo os sinais:
Agora isolamos
somando
aos dois lados:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova: sempre que puder, confirme diferenciando). Derivando a função encontrada:
Somando os termos:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.