Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função a ser integrada é
. - Queremos uma função
tal que . Não foi dada nenhuma condição inicial, portanto a resposta deve conter a constante de integração .
Passo 2
Explicando o método que vamos usar (integração por partes). A fórmula básica é:
Aqui:
-
é uma função de que escolhemos para diferenciar (ou seja, calcular ); -
é a parte que escolhemos para integrar (ou seja, calcular tal que ); -
é a diferencial de , ou seja, ; -
é uma primitiva de , ou seja, .
Dica prática (útil na prova): quando a integranda é um polinômio vezes
, escolha o polinômio como
(porque ao diferenciá-lo ele simplifica) e escolha
(porque integrar
é fácil: dá
). Isso reduz o grau do polinômio a cada aplicação.
Passo 3
Aplicando integração por partes a
. Fazemos a escolha:
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula:
Passo 4
Precisamos calcular
. Repetimos integração por partes para essa integral. Tome:
Então
Aplicando a fórmula:
A última integral é imediata:
Logo
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3:
Desenvolvendo e agrupando termos com
:
Passo 6
Verificação rápida (útil para garantir que não houve erro): derivando
obtemos, pelo produto,
que é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.