Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=\left(x^{2}-5 x\right) e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=\left(x^{2}-5 x\right) e^{x}.
Informações fornecidas:
  • A função a ser integrada é f(x)=\left(x^{2}-5 x\right) e^{x}.
  • Queremos uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Não foi dada nenhuma condição inicial, portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (integração por partes). A fórmula básica é:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x que escolhemos para diferenciar (ou seja, calcular du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (ou seja, calcular v tal que dv = v'\,dx);
  • du é a diferencial de u, ou seja, du = u'(x)\,dx;
  • v é uma primitiva de dv, ou seja, v' = dv/dx.
Dica prática (útil na prova): quando a integranda é um polinômio vezes e^{x}, escolha o polinômio como u (porque ao diferenciá-lo ele simplifica) e escolha dv=e^{x}\,dx (porque integrar e^{x} é fácil: dá e^{x}). Isso reduz o grau do polinômio a cada aplicação.

Passo 3

Aplicando integração por partes a \displaystyle \int \left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx. Fazemos a escolha:
u = x^{2}-5x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Calculamos du e v:
du = (2x-5)\,dx,\qquad v = e^{x}.
Agora aplicamos a fórmula:
\int \left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)e^{x} - \int e^{x}(2x-5)\,dx.

Passo 4

Precisamos calcular \displaystyle \int (2x-5)e^{x}\,dx. Repetimos integração por partes para essa integral. Tome:
u_{1}=2x-5,\qquad dv_{1}=e^{x}\,dx.
Então
du_{1}=2\,dx,\qquad v_{1}=e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int (2x-5)e^{x}\,dx = (2x-5)e^{x} - \int e^{x}\cdot 2\,dx.
A última integral é imediata:
\int 2 e^{x}\,dx = 2 e^{x}.
Logo
\int (2x-5)e^{x}\,dx = (2x-5)e^{x} - 2 e^{x}.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3:
\int \left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)e^{x} - \big[(2x-5)e^{x} - 2 e^{x}\big] + C.
Desenvolvendo e agrupando termos com e^{x}:
= (x^{2}-5x)e^{x} - (2x-5)e^{x} + 2 e^{x} + C
= e^{x}\big(x^{2}-5x -2x +5 +2\big) + C
= e^{x}\big(x^{2}-7x+7\big) + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil para garantir que não houve erro): derivando F(x)=e^{x}(x^{2}-7x+7) obtemos, pelo produto,
F'(x)=e^{x}(x^{2}-7x+7) + e^{x}(2x-7) = e^{x}\big(x^{2}-5x\big),
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

F(x)=e^{x}\big(x^{2}-7x+7\big)+C

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