Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O que se quer: uma função
tal que para todo do domínio (ou seja, uma antiderivada/primtiva).
Passo 2
O que é uma primitiva (definição, explicada de maneira simples).
- Uma função
é primitiva de se, e somente se, para todo no domínio considerado. - Quando achamos uma primitiva, existe sempre uma família infinita de primitivas que difere por uma constante. Escrevemos a primitiva geral como
, onde é a constante de integração arbitrária.
Passo 3
Recordando a relação entre derivada e primitiva (ideia prática para a prova).
- Para encontrar uma primitiva de
normalmente “invertemos” a operação de derivação: se sabemos que , então uma primitiva de é . - Portanto é útil lembrar derivadas básicas. Uma identidade básica (que vale decorar) é:
Explanação curta: essa é uma das derivadas elementares que costuma ser mostrada na disciplina de Cálculo; aqui vamos usar esse fato como ferramenta.
Passo 4
Procurando uma candidata usando a identidade anterior.
- Queremos
tal que . Pela fórmula acima, se tomarmos então . - Logo, se tomarmos
sua derivada será o oposto do oposto, ou seja . Assim uma boa candidata é
Passo 5
Verificação da candidata (sempre faça isso na prova — prova por diferenciação).
- Diferenciando
obtemos
- Como a derivada de
é exatamente , concluímos que é uma primitiva de .
Passo 6
Constante de integração e resposta geral.
- A primitiva geral inclui a constante arbitrária
. Portanto a família completa de primitivas é
onde
.
Passo 7
Dica prática para questões semelhantes (como fazer rápido na prova).
- Memorize as derivadas:
e . Na integração, faça o processo inverso: a primitiva de é . - Para variações tipo
com constante , use a substituição/chain rule: a primitiva é
- Sempre verifique derivando a resposta; isso evita erros bobos.