Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva da função \displaystyle f(x)=\operatorname{sen} x.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\operatorname{sen} x.
  • O que se quer: uma função F(x) tal que \displaystyle F'(x)=\operatorname{sen} x para todo x do domínio (ou seja, uma antiderivada/primtiva).

Passo 2

O que é uma primitiva (definição, explicada de maneira simples).
  • Uma função F é primitiva de f se, e somente se, \displaystyle F'(x)=f(x) para todo x no domínio considerado.
  • Quando achamos uma primitiva, existe sempre uma família infinita de primitivas que difere por uma constante. Escrevemos a primitiva geral como \displaystyle F(x)+C, onde C é a constante de integração arbitrária.

Passo 3

Recordando a relação entre derivada e primitiva (ideia prática para a prova).
  • Para encontrar uma primitiva de f normalmente “invertemos” a operação de derivação: se sabemos que \displaystyle \frac{d}{dx}G(x)=H(x), então uma primitiva de H é G.
  • Portanto é útil lembrar derivadas básicas. Uma identidade básica (que vale decorar) é:
\frac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x.
Explanação curta: essa é uma das derivadas elementares que costuma ser mostrada na disciplina de Cálculo; aqui vamos usar esse fato como ferramenta.

Passo 4

Procurando uma candidata usando a identidade anterior.
  • Queremos F tal que F'(x)=\operatorname{sen} x. Pela fórmula acima, se tomarmos G(x)=\cos x então G'(x)=-\operatorname{sen} x.
  • Logo, se tomarmos -\cos x sua derivada será o oposto do oposto, ou seja \operatorname{sen} x. Assim uma boa candidata é
F(x)=-\cos x.

Passo 5

Verificação da candidata (sempre faça isso na prova — prova por diferenciação).
  • Diferenciando F(x)=-\cos x obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr) = -\frac{d}{dx}\cos x = -\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr) = \operatorname{sen} x.
  • Como a derivada de -\cos x é exatamente \operatorname{sen} x, concluímos que -\cos x é uma primitiva de \operatorname{sen} x.

Passo 6

Constante de integração e resposta geral.
  • A primitiva geral inclui a constante arbitrária C. Portanto a família completa de primitivas é
F(x)=-\cos x + C,
onde C\in\mathbb{R}.

Passo 7

Dica prática para questões semelhantes (como fazer rápido na prova).
  • Memorize as derivadas: \displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \cos x e \displaystyle \frac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x. Na integração, faça o processo inverso: a primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x + C.
  • Para variações tipo \operatorname{sen}(ax) com constante a\neq0, use a substituição/chain rule: a primitiva é
-\frac{1}{a}\cos(ax)+C.
  • Sempre verifique derivando a resposta; isso evita erros bobos.

Resposta

-\cos x + C

Exercícios relacionados