Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar uma primitiva dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Implicação óbvia:
está definida para (não existe ).
O pedido é: ache uma funçãotal que para todo do domínio considerado.
Passo 2
O que significa “primitiva” aqui — definição prática e consequência do domínio:
- Uma função
é primitiva de em um conjunto se for diferenciável em e valer
para todo
.
- Como
não está definida em , devemos procurar primitivas em intervalos onde . Tipicamente consideramos os intervalos , ou todo . Note que tem duas componentes conectadas; isso permite constantes de integração diferentes em cada componente. Vou trabalhar mostrando uma primitiva que funciona para e para e, em seguida, unificar.
Passo 3
Lembrando uma identidade útil (derivada do logaritmo natural): para
,
Explicação rápida do porquê (intuição/construção): se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando inversa):
. Assim
. Portanto
para
.
Passo 4
Concluir para
: a função
satisfaz
para todo
. Aqui
é constante arbitrária (constante de integração). Isto já dá uma família completa de primitivas em
.
Passo 5
Agora tratar
: para
podemos usar a função
porque
nessa região. Aplicando a regra da cadeia:
Portanto, para
também temos uma primitiva dada por
Passo 6
Unificação usando valor absoluto: a expressão
é igual a
para
e igual a
para
. Logo
é diferenciável para todo
e satisfaz
Assim uma primitiva válida em todo o domínio
é
. Observação sobre constantes: em cada componente conectada (
e
) a constante de integração pode, em princípio, ser diferente; a expressão
corresponde ao caso em que a mesma constante é tomada em ambas as componentes. Mas, de forma prática para uma resposta de prova, escrever
é o padrão.
Passo 7
Resumo didático e dica para a prova: sempre que vir
e o domínio excluir
, lembre que a primitiva é o logaritmo natural do valor absoluto. Se precisar justificar, mostre a derivada de
por partes (caso
e
) ou use a regra da cadeia como fiz acima. Não esqueça de incluir a constante de integração
.