Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x} e pede: encontrar uma primitiva dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Implicação óbvia: f está definida para x\neq0 (não existe f(0)).
    O pedido é: ache uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) para todo x do domínio considerado.

Passo 2

O que significa “primitiva” aqui — definição prática e consequência do domínio:
  • Uma função F é primitiva de f em um conjunto I se F for diferenciável em I e valer
F'(x)=f(x)
para todo x\in I.
  • Como f(x)=\dfrac{1}{x} não está definida em x=0, devemos procurar primitivas em intervalos onde x\neq0. Tipicamente consideramos os intervalos (0,\infty), (-\infty,0) ou todo \mathbb{R}\setminus\{0\}. Note que \mathbb{R}\setminus\{0\} tem duas componentes conectadas; isso permite constantes de integração diferentes em cada componente. Vou trabalhar mostrando uma primitiva que funciona para x>0 e para x<0 e, em seguida, unificar.

Passo 3

Lembrando uma identidade útil (derivada do logaritmo natural): para x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Explicação rápida do porquê (intuição/construção): se y=\ln x então x=e^y. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando inversa): 1=\dfrac{dx}{dx}= \dfrac{d}{dx}(e^y)=e^{y}\dfrac{dy}{dx}=x\dfrac{dy}{dx}. Assim \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}. Portanto \bigl(\ln x\bigr)'=1/x para x>0.

Passo 4

Concluir para x>0: a função
F(x)=\ln x + C
satisfaz F'(x)=\dfrac{1}{x} para todo x>0. Aqui C é constante arbitrária (constante de integração). Isto já dá uma família completa de primitivas em (0,\infty).

Passo 5

Agora tratar x<0: para x<0 podemos usar a função \ln(-x) porque -x>0 nessa região. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(-x)\bigr)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.
Portanto, para x<0 também temos uma primitiva dada por
F(x)=\ln(-x)+C.

Passo 6

Unificação usando valor absoluto: a expressão \ln|x| é igual a \ln x para x>0 e igual a \ln(-x) para x<0. Logo \ln|x| é diferenciável para todo x\neq0 e satisfaz
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)=\frac{1}{x}\quad\text{para todo }x\neq0.
Assim uma primitiva válida em todo o domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} é \ln|x|+C. Observação sobre constantes: em cada componente conectada ( (-\infty,0) e (0,\infty)) a constante de integração pode, em princípio, ser diferente; a expressão \ln|x|+C corresponde ao caso em que a mesma constante é tomada em ambas as componentes. Mas, de forma prática para uma resposta de prova, escrever \ln|x|+C é o padrão.

Passo 7

Resumo didático e dica para a prova: sempre que vir \dfrac{1}{x} e o domínio excluir 0, lembre que a primitiva é o logaritmo natural do valor absoluto. Se precisar justificar, mostre a derivada de \ln|x| por partes (caso x>0 e x<0) ou use a regra da cadeia como fiz acima. Não esqueça de incluir a constante de integração C.

Resposta

\ln|x|+C

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