Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
. As informações dadas são:
- A função é
. - Não foi fornecida nenhuma restrição explícita sobre o domínio, mas saiba que
não está definida em .
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a função usando potências, que é a forma mais prática para integrar.
Passo 3
Apresentando a regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais):
Explicando a fórmula: aqui
é a variável de integração,
é um número real que indica a potência, e
é a constante de integração (porque antiderivada é única só até uma constante). A condição
aparece porque quando
a integral é
, que é um caso especial.
Passo 4
Aplicar a regra da potência ao nosso caso. Aqui
, portanto:
Simplificando:
Logo uma primitiva é
Passo 5
Verificação rápida (derivando a primitiva para ver se volta a
). Calcular a derivada de
:
Portanto a derivada da primitiva encontrada é exatamente
, como deve ser.
Passo 6
Observação sobre o domínio e a constante
: a primitiva
vale para qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo, em
ou em
). Não existe uma única primitiva contínua definida em todo
para essa função porque
não está definida em
.