Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Não foi fornecida nenhuma restrição explícita sobre o domínio, mas saiba que f não está definida em x=0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a função usando potências, que é a forma mais prática para integrar.
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.

Passo 3

Apresentando a regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1).
Explicando a fórmula: aqui x é a variável de integração, n é um número real que indica a potência, e C é a constante de integração (porque antiderivada é única só até uma constante). A condição n\neq -1 aparece porque quando n=-1 a integral é \int x^{-1}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C, que é um caso especial.

Passo 4

Aplicar a regra da potência ao nosso caso. Aqui n=-2, portanto:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C.
Simplificando:
\frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Logo uma primitiva é
-\frac{1}{x} + C.

Passo 5

Verificação rápida (derivando a primitiva para ver se volta a f). Calcular a derivada de -\dfrac{1}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{x^{2}}.
Portanto a derivada da primitiva encontrada é exatamente f(x), como deve ser.

Passo 6

Observação sobre o domínio e a constante C: a primitiva -\dfrac{1}{x}+C vale para qualquer intervalo que não contenha x=0 (por exemplo, em (0,\infty) ou em (-\infty,0)). Não existe uma única primitiva contínua definida em todo \mathbb{R} para essa função porque f não está definida em x=0.

Resposta

-\dfrac{1}{x}+C

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