Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva de f(x)=\operatorname{sen}(2x).
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(2x).
Informações dadas: a única informação é a expressão da função f(x)=\operatorname{sen}(2x). Não há condições iniciais; portanto a primitiva será determinada até uma constante aditiva C.

Passo 2

O que é uma primitiva (ou antiderivada)?
Uma função F(x) é primitiva de f(x) se, ao derivar F, obtemos f: F'(x)=f(x). No exame, lembrar desta definição é importante: integrar é "achar quem foi derivado para dar f".

Passo 3

Vamos lembrar algumas derivadas simples que serão úteis:
  • A derivada de \cos(x) é \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
  • Pela regra da cadeia, se g(x)=\cos(kx) com k constante, então
\dfrac{d}{dx}\cos(kx) = -k\,\operatorname{sen}(kx).
Isso significa que \operatorname{sen}(kx) está relacionada com a derivada de \cos(kx) por um fator constante: \operatorname{sen}(kx) = -\dfrac{1}{k}\dfrac{d}{dx}\cos(kx). Esse fato é a base para integrar funções do tipo \operatorname{sen}(ax).

Passo 4

Aplicando a ideia anterior ao nosso caso onde k=2: pela regra da cadeia,
\dfrac{d}{dx}\cos(2x) = -2\,\operatorname{sen}(2x).
Reorganizando,
\operatorname{sen}(2x) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\cos(2x).
Agora, integrar ambos os lados em x:
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = \int -\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\cos(2x)\,dx.
A integral de uma derivada simples recupera a função (até constante), logo
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Fazer o mesmo cálculo usando substituição (método alternativo e rápido, bom para a prova): seja u=2x. Então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}. Substituindo,
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Sabendo que \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C, obtemos
\dfrac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C,
igual ao resultado anterior. Bom para decorar a fórmula geral:
\int \operatorname{sen}(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax)+C.

Passo 6

Verificação rápida derivando o resultado: seja F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C. Então
F'(x) = -\dfrac{1}{2}\cdot \bigl(-2\operatorname{sen}(2x)\bigr) = \operatorname{sen}(2x),
confirma que F é de fato uma primitiva de f. Ótimo — sempre que der tempo na prova, verifique assim.

Passo 7

Dica prática para a prova (motivação e memória): memorize que \int \operatorname{sen}(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax)+C e \int \cos(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax)+C. Exemplos rápidos:
  • \displaystyle \int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\dfrac{1}{3}\cos(3x)+C.
  • \displaystyle \int \cos(5x)\,dx = \dfrac{1}{5}\sin(5x)+C.
    Respire fundo: isso costuma cair direto quando a regra da cadeia é lembrada.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C

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