Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva de
.
Ou seja, encontrar uma função tal que
.
Informações dadas: a única informação é a expressão da função . Não há condições iniciais; portanto a primitiva será determinada até uma constante aditiva
.
Ou seja, encontrar uma função
Informações dadas: a única informação é a expressão da função
Passo 2
O que é uma primitiva (ou antiderivada)?
Uma função é primitiva de
se, ao derivar
, obtemos
:
. No exame, lembrar desta definição é importante: integrar é "achar quem foi derivado para dar
".
Uma função
Passo 3
Vamos lembrar algumas derivadas simples que serão úteis:
- A derivada de
é . - Pela regra da cadeia, se
com constante, então
Isso significa que
está relacionada com a derivada de
por um fator constante:
. Esse fato é a base para integrar funções do tipo
.
Passo 4
Aplicando a ideia anterior ao nosso caso onde
: pela regra da cadeia,
Reorganizando,
Agora, integrar ambos os lados em
:
A integral de uma derivada simples recupera a função (até constante), logo
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Fazer o mesmo cálculo usando substituição (método alternativo e rápido, bom para a prova): seja
. Então
ou
. Substituindo,
Sabendo que
, obtemos
igual ao resultado anterior. Bom para decorar a fórmula geral:
Passo 6
Verificação rápida derivando o resultado: seja
. Então
confirma que
é de fato uma primitiva de
. Ótimo — sempre que der tempo na prova, verifique assim.
Passo 7
Dica prática para a prova (motivação e memória): memorize que
e
. Exemplos rápidos:
-
. -
.
Respire fundo: isso costuma cair direto quando a regra da cadeia é lembrada.