Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre uma primitiva de cada função a seguir: f(x)=\sqrt{x}".
Informações que o problema dá:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}.
  • Para as primitivas em reais, o domínio natural de f é x\ge 0 (ou seja, [0,\infty) ), porque estamos usando a raiz quadrada principal.

Passo 2

O que significa “achar uma primitiva”?
Uma primitiva (ou antiderivada) de f é uma função F tal que, para todo x no domínio considerado,
F'(x)=f(x).
Além disso, as primitivas vêm com uma constante arbitrária: se F é primitiva de f, então F+C (com C constante) também é primitiva. No final teremos um +C.

Passo 3

Primeiro passo prático: reescrever a função numa forma que facilita aplicar a regra padrão.
A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Então queremos \displaystyle \int x^{1/2}\,dx.

Passo 4

Vamos usar a regra da primitivação para potências: para qualquer expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso vale? Porque ao derivar o lado direito obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
ou seja, a derivada recupera x^{n}. (Aqui usamos a regra da derivada de potência, que diz \dfrac{d}{dx}x^{k}=k x^{k-1}.)

Passo 5

Aplicando a regra com n=\tfrac{1}{2}:
-calculamos n+1=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}.
-Logo,
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C.
Simplificando a fração \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}, obtemos
\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.

Passo 6

Também é útil escrever a primitiva no mesmo estilo da raiz:
x^{3/2}=x\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x},
portanto uma forma equivalente é
\frac{2}{3}x^{3/2}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a primitiva encontrada para checar se volta para f(x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x},
confirmando que a primitiva está correta.

Passo 8

Observações finais e domínio: a primitiva \dfrac{2}{3}x^{3/2}+C é válida para x\ge 0 (domínio onde \sqrt{x} é real). Não esquecer do +C.

Resposta

\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C

Exercícios relacionados