Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre uma primitiva de cada função a seguir:
".
Informações que o problema dá:
Informações que o problema dá:
- A função é
. - Para as primitivas em reais, o domínio natural de
é (ou seja, ), porque estamos usando a raiz quadrada principal.
Passo 2
O que significa “achar uma primitiva”?
Uma primitiva (ou antiderivada) de é uma função
tal que, para todo
no domínio considerado,
Uma primitiva (ou antiderivada) de
Além disso, as primitivas vêm com uma constante arbitrária: se
é primitiva de
, então
(com
constante) também é primitiva. No final teremos um
.
Passo 3
Primeiro passo prático: reescrever a função numa forma que facilita aplicar a regra padrão.
A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
Então queremos
.
Passo 4
Vamos usar a regra da primitivação para potências: para qualquer expoente
,
Por que isso vale? Porque ao derivar o lado direito obtemos
ou seja, a derivada recupera
. (Aqui usamos a regra da derivada de potência, que diz
.)
Passo 5
Aplicando a regra com
:
-calculamos .
-Logo,
-calculamos
-Logo,
Simplificando a fração
, obtemos
Passo 6
Também é útil escrever a primitiva no mesmo estilo da raiz:
portanto uma forma equivalente é
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a primitiva encontrada para checar se volta para
:
confirmando que a primitiva está correta.
Passo 8
Observações finais e domínio: a primitiva
é válida para
(domínio onde
é real). Não esquecer do
.