Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}, e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a serie infinita é convergente ou divergente, se for convergente encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} n

Passo 1

O enunciado pede para calcular os quatro primeiros somatórios parciais \{s_n\} da série
\sum_{n=1}^{+\infty}n,
em seguida obter uma fórmula geral para s_n em função de n e decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Calculamos diretamente os quatro primeiros parciais: s_1 = 1 s_2 = 1 + 2 = 3 s_3 = 1 + 2 + 3 = 6 s_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Passo 3

Reconhecendo que \{1,2,3,\dots,n\} é uma progressão aritmética de primeiro termo 1, razão 1 e n termos, a soma dos n primeiros termos é dada por
s_n = \frac{n\,(1 + n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Para verificar a convergência, examinamos o limite de s_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2} = +\infty.
Como os parciais crescem sem limite, a série é divergente.

Resposta

Os quatro primeiros parciais são s_1=1, s_2=3, s_3=6, s_4=10;
a fórmula geral é
s_n = \frac{n(n+1)}{2},
e a série diverge.

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