Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3}\Bigl(\frac{5}{7}\Bigr)^{n}
que é uma série geométrica. O conteúdo da matéria é reconhecimento de série geométrica e uso da fórmula de soma quando o valor absoluto da razão é menor que 1.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo e a razão da série geométrica. Aqui o primeiro termo é
a_{1} = \frac{4}{3}\Bigl(\frac{5}{7}\Bigr)^{1} = \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{7}
e a razão é
r = \frac{5}{7}.

Passo 3

Verificamos a condição de convergência da série geométrica: ela converge se e somente se \lvert r\rvert<1. Como
\Bigl\lvert\frac{5}{7}\Bigr\rvert = \frac{5}{7}<1,
a série é convergente.

Passo 4

Para uma série geométrica convergente, a soma é dada por
S = \frac{a_{1}}{1-r}.
Substituindo a_{1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{7} e r=\frac{5}{7}, temos
S = \frac{\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{7}}{1 - \frac{5}{7}} = \frac{\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{2} = \frac{4\cdot5}{3\cdot2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.

Resposta

A série converge e sua soma é \dfrac{10}{3}.

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