Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}, e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a serie infinita é convergente ou divergente, se for convergente encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais \{s_n\} associada à série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{5^{n+1}}
e depois uma fórmula geral para s_n, bem como determinar a convergência da série infinita e, em caso afirmativo, sua soma. Trata-se de uma série geométrica com termo geral \displaystyle a_n=\frac{2}{5^{n+1}}.

Passo 2

Calculemos diretamente os primeiros quatro s_n, lembrando que
s_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{5^{k+1}}.
Para n=1:
s_1 = \frac{2}{5^{1+1}} = \frac{2}{25}.
Para n=2:
s_2 = \frac{2}{25} + \frac{2}{5^{3}} = \frac{2}{25} + \frac{2}{125} = \frac{10+2}{125} = \frac{12}{125}.
Para n=3:
s_3 = \frac{12}{125} + \frac{2}{5^{4}} = \frac{12}{125} + \frac{2}{625} = \frac{60+2}{625} = \frac{62}{625}.
Para n=4:
s_4 = \frac{62}{625} + \frac{2}{5^{5}} = \frac{62}{625} + \frac{2}{3125} = \frac{310+2}{3125} = \frac{312}{3125}.

Passo 3

Para obter a fórmula geral de s_n, reconhecemos que é soma parcial de série geométrica com primeiro termo \displaystyle a=\frac{2}{5^{2}}
e razão \displaystyle r=\frac{1}{5}.
A soma dos n primeiros termos de uma geométrica é
s_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}.
Aqui a=\frac{2}{25} e 1-r=1-\frac15=\frac45, logo
s_n = \frac{2/25}{4/5}\,\bigl(1-(\tfrac15)^n\bigr) = \frac{2}{25}\cdot\frac{5}{4}\,\bigl(1-\frac{1}{5^n}\bigr) = \frac{1}{10}\Bigl(1-\frac{1}{5^n}\Bigr).

Passo 4

Para decidir convergência, tomamos o limite de s_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}s_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{10}\Bigl(1-\frac{1}{5^n}\Bigr) = \frac{1}{10}\bigl(1-0\bigr) = \frac{1}{10}.
Como esse limite é finito, a série converge e sua soma é \tfrac{1}{10}.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
s_1=\frac{2}{25},\quad s_2=\frac{12}{125},\quad s_3=\frac{62}{625},\quad s_4=\frac{312}{3125}.
A fórmula geral é
s_n = \frac{1}{10}\Bigl(1-\frac{1}{5^n}\Bigr).
A série é convergente e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n+1}} = \frac{1}{10}.

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