Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
, e obtenha uma formula para
em termos de n. Determine também se a serie infinita é convergente ou divergente, se for convergente encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
associada à série
e depois uma fórmula geral para
, bem como determinar a convergência da série infinita e, em caso afirmativo, sua soma. Trata-se de uma série geométrica com termo geral
.
Passo 2
Calculemos diretamente os primeiros quatro
, lembrando que
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Para obter a fórmula geral de
, reconhecemos que é soma parcial de série geométrica com primeiro termo
e razão .
A soma dos primeiros termos de uma geométrica é
e razão
A soma dos
Aqui
e
, logo
Passo 4
Para decidir convergência, tomamos o limite de
quando
:
Como esse limite é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
Os quatro primeiros termos são
A fórmula geral é
A série é convergente e