Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
, e obtenha uma formula para
em termos de n. Determine também se a serie infinita é convergente ou divergente, se for convergente encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
da série
depois uma fórmula geral para
em termos de
, e por fim decidir se a série converge ou diverge — e, em caso de convergência, calcular sua soma.
Passo 2
Para telescopar a soma, escrevemos o termo geral como diferença de frações. Observe que
Isso porque, colocando no mesmo denominador,
Passo 3
Agora somamos de
até
:
Essa soma telescopa, pois termos intermediários se cancelam, sobrando
Passo 4
Simplificando a expressão:
Logo os quatro primeiros termos são:
Passo 5
Para decidir a convergência, calculemos
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e