Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}, e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a serie infinita é convergente ou divergente, se for convergente encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\} da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)},
depois uma fórmula geral para s_n em termos de n, e por fim decidir se a série converge ou diverge — e, em caso de convergência, calcular sua soma.

Passo 2

Para telescopar a soma, escrevemos o termo geral como diferença de frações. Observe que
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Isso porque, colocando no mesmo denominador,
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr) =\frac{1}{2}\,\frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.

Passo 3

Agora somamos de k=1 até k=n:
s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} =\frac12\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Bigr).
Essa soma telescopa, pois termos intermediários se cancelam, sobrando
s_n=\frac12\Bigl(1-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 4

Simplificando a expressão:
s_n =\frac12\Bigl(\frac{2n+1-1}{2n+1}\Bigr) =\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1} =\frac{n}{2n+1}.
Logo os quatro primeiros termos são:
s_1=\frac{1}{3},\quad s_2=\frac{2}{5},\quad s_3=\frac{3}{7},\quad s_4=\frac{4}{9}.

Passo 5

Para decidir a convergência, calculemos
\lim_{n\to\infty}s_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} =\frac12.
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é 1/2.

Resposta

s_{1} =1/3
s_{2} =2/5
s_{3} =3/7
s_{4} =4/9 s_n = \dfrac{n}{2n+1}
A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac12.

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