Considere o cilindro circular descrito por
X(u, v)=(a \cos u, a \operatorname{sen} u, v),(u, v) \in \mathbf{R}^{2}, a>0
Descreva a imagem da aplicação normal de Gauss, sobre a esfera unitária.

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro circular de raio a>0 com parametrização
X(u,v) = \bigl(a\cos u,\;a\sin u,\;v\bigr),\quad (u,v)\in\mathbb{R}^2
e pede a imagem da aplicação normal de Gauss N\colon\mathbb{R}^2\to S^2. Para resolver, vamos usar que
N(u,v) = \frac{X_u\times X_v}{\bigl\lVert X_u\times X_v\bigr\rVert}
onde X_u e X_v são as derivadas parciais de X.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de X:
X_u = \bigl(-a\sin u,\;a\cos u,\;0\bigr),
X_v = \bigl(0,\;0,\;1\bigr).

Passo 3

Fazendo o produto vetorial:
X_u \times X_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -a\sin u & a\cos u & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(a\cos u,\;a\sin u,\;0\bigr).
O módulo desse vetor é
\bigl\lVert X_u \times X_v\bigr\rVert = \sqrt{(a\cos u)^2+(a\sin u)^2} = \sqrt{a^2} = a.

Passo 4

Assim a normal unitária é
N(u,v) = \frac{1}{a}\bigl(a\cos u,\;a\sin u,\;0\bigr) = \bigl(\cos u,\;\sin u,\;0\bigr).
Repare que N não depende de v e, à medida que u varia em \mathbb{R}, o vetor \bigl(\cos u,\sin u,0\bigr) descreve o círculo de raio 1 no plano z=0.

Resposta

A imagem da aplicação de Gauss é o círculo equatorial da esfera unitária, isto é,
\bigl\{(x,y,z)\in S^2 \mid z=0\bigr\}.

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