Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} uma aplicação diferenciável. Considere o conjunto S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; F(x, y, z)=c\right\}, onde c é um número real. Se p_{0} \in S é tal que \operatorname{grad} F\left(p_{0}\right) \neq 0, já vimos na Proposição 1.10 que o conjunto de pontos p=(x, y, z) \in S, suficientemente próximos de p_{0}, é o traço de uma superficie parametrizada regular. Verifique que o vetor \operatorname{grad} F(p) é normal a esta superficie.

Passo 1

O enunciado diz que F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é diferenciável, que
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid F(x,y,z)=c\}
e que em p_0\in S temos \operatorname{grad}F(p_0)\neq0. Pela Proposição 1.10, perto de p_0 o conjunto S é a imagem regular de um mapa \varphi\colon U\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3. Precisamos mostrar que \operatorname{grad}F(p) é ortogonal ao plano tangente à superfície parametrizada.

Passo 2

Pela Proposição 1.10 existe uma parametrização regular
\varphi\colon U\to\mathbb{R}^3, \qquad \varphi(u_0,v_0)=p_0,
tal que
F\bigl(\varphi(u,v)\bigr)=c \quad\text{para todo }(u,v)\in U.

Passo 3

Como F(\varphi(u,v))\equiv c é constante, aplicamos a regra da cadeia às derivadas parciais em u e em v:
\frac{\partial}{\partial u}\,F\bigl(\varphi(u,v)\bigr) =DF\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\,\frac{\partial\varphi}{\partial u}(u,v) =0,
\frac{\partial}{\partial v}\,F\bigl(\varphi(u,v)\bigr) =DF\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\,\frac{\partial\varphi}{\partial v}(u,v) =0.
Mas DF(p)=\nabla F(p)\cdot, então em cada ponto p=\varphi(u,v) temos
\bigl(\operatorname{grad}F(p)\bigr)\cdot\varphi_u(u,v)=0, \quad \bigl(\operatorname{grad}F(p)\bigr)\cdot\varphi_v(u,v)=0.

Passo 4

Os vetores \varphi_u(u,v) e \varphi_v(u,v) formam uma base do plano tangente à superfície em p. Como \operatorname{grad}F(p) é ortogonal a ambos, concluímos que \operatorname{grad}F(p) é normal à superfície S em p.

Resposta

O vetor \operatorname{grad}F(p) é normal à superfície dada por F(x,y,z)=c.

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