Seja
uma aplicação diferenciável. Considere o conjunto
, onde
é um número real. Se
é tal que
, já vimos na Proposição 1.10 que o conjunto de pontos
, suficientemente próximos de
, é o traço de uma superficie parametrizada regular. Verifique que o vetor
é normal a esta superficie.
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável, que
e que em
temos
. Pela Proposição 1.10, perto de
o conjunto
é a imagem regular de um mapa
. Precisamos mostrar que
é ortogonal ao plano tangente à superfície parametrizada.
Passo 2
Pela Proposição 1.10 existe uma parametrização regular
tal que
Passo 3
Como
é constante, aplicamos a regra da cadeia às derivadas parciais em
e em
:
Mas
, então em cada ponto
temos
Passo 4
Os vetores
e
formam uma base do plano tangente à superfície em
. Como
é ortogonal a ambos, concluímos que
é normal à superfície
em
.
Resposta
O vetor
é normal à superfície dada por
.