Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergêncía da série de potências abaixo:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{2n+1}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências, e vamos usar o teste da razão para encontrar R e depois testar os extremos x=1 e x=-1.
Passo 2
Aplique o teste da razão a
a_n = \frac{x^n}{2n+1}.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{2n+3}\cdot\frac{2n+1}{x^n}\right| = |x|\;\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3} = |x|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja |x|<1, e diverge se |x|>1. Logo
R = 1.
Passo 3
Agora verificamos os extremos:
Para x=1, a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1},
que diverge por comparação com \sum1/n.
Para x=-1, a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1},
cujo termo geral em módulo é decrescente e tende a zero, logo converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.