Usando o polinômio de Taylor de f(x)=\cos (x) em torno de a=\frac{\pi}{3}, calcule \cos \left(54^{\circ}\right) com precisão de três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos(54^\circ) usando o polinômio de Taylor de f(x)=\cos(x) em torno de a=\frac{\pi}{3}. Vamos precisar converter graus em radianos, desenvolver até a segunda ordem de Taylor e calcular valores exatos de \sin e \cos em ângulos notáveis.

Passo 2

Converter 54^\circ para radianos:
x = 54^\circ = \frac{54\pi}{180} = \frac{3\pi}{10}.

Passo 3

Calcular o desvio h = x - a:
h = \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{30} \approx -0{,}10472.

Passo 4

Escrever o polinômio de Taylor de grau 2 para \cos(x) em torno de a:
\cos(x) \approx \cos(a) + \cos'(a)\,h + \tfrac{\cos''(a)}{2}\,h^2 = \cos(a) - \sin(a)\,h - \frac{\cos(a)}{2}\,h^2,
pois \cos'(x)=-\sin(x) e \cos''(x)=-\cos(x).

Passo 5

Avaliar cada termo:
\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)=\tfrac12,\quad \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}86603,
h^2 = \Bigl(-\tfrac{\pi}{30}\Bigr)^2 = \frac{\pi^2}{900}\approx0{,}01097.
Substituindo em Taylor:
\cos(54^\circ)\approx \tfrac12 \;-\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,(-0{,}10472)\;-\;\frac{1/2}{2}\,(0{,}01097) \approx0{,}58786.

Passo 6

Estimar o resto de ordem 3 para garantir a precisão:
R_2 \le \frac{\max|\cos'''(\xi)|}{3!}\,\lvert h\rvert^3 = \frac{1}{6}\,(0{,}10472)^3 \approx0{,}00019,
ou seja, o erro é menor que 2\times10^{-4}, suficiente para três casas decimais.

Resposta

\cos(54^\circ)\approx0,588

Exercícios relacionados