Uma placa vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro. Um jato de água com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa requerida para manter a placa no lugar, se o jato que sai do orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 4,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{D}= 100 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{d}=25 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado descreve um jato de água de diâmetro \,D e velocidade \,V que incide perpendicularmente numa placa com um orifício cônico de diâmetro \,d no centro. A parte interna do jato atravessa o orifício e sai com a mesma velocidade V, mas em sentido oposto, enquanto a parte anular do jato (entre diâmetros D e d) é parada pela placa. Vamos usar o princípio de conservação de quantidade de movimento (momento linear) para um volume de controle que envolve todo o fluxo que chega e sai da placa, assumindo pressão atmosférica igual nos extremos e desprezando forças de atrito.

Passo 2

Definimos as áreas transversais:
A_{\rm in} = \frac{\pi D^2}{4}, \quad A_{\rm orifício} = \frac{\pi d^2}{4}.í
A vazão mássica que atravessa o orifício é
\dot m = \rho\,V\,A_{\rm orifício},í
e a vazão mássica que incide na placa inteira é
\dot m_{\rm in} = \rho\,V\,A_{\rm in}.
A parte anular tem vazão mássica \dot m_{\rm anel} = \dot m_{\rm in} - \dot m.

Passo 3

Calculamos a variação de momento em cada porção do fluxo:
  1. Parte anular: entra com velocidade +V e sai estagnada 0, logo
\Delta p_{\rm anel} = \dot m_{\rm anel}\,(0 - V) = -\,\rho\,V^2\,(A_{\rm in}-A_{\rm orifício}).í
  1. Núcleo que passa no orifício: entra com +V e sai com -V, logo
\Delta p_{\rm núcleo} = \dot m\,(-V - V) = -\,2\,\rho\,V^2\,A_{\rm orifício}.úí
Somando as variações,
\Delta p_{\rm total} = -\,\rho\,V^2\bigl[(A_{\rm in}-A_{\rm orifício}) + 2\,A_{\rm orifício}\bigr] = -\,\rho\,V^2\bigl(A_{\rm in}+A_{\rm orifício}\bigr).ííí
Pela segunda lei de Newton aplicada ao fluido, essa soma de variações de momento é igual à força exercida pela placa sobre o fluido, F_{\rm placa\to fluido}.

Passo 4

A força externa necessária para segurar a placa, F_{\rm ext}, tem mesma magnitude e sentido oposto à força que o fluido exerce na placa. Logo,
F_{\rm ext} = \rho\,V^2\bigl(A_{\rm in}+A_{\rm orifício}\bigr) = \rho\,V^2\!\left(\frac{\pi D^2}{4} + \frac{\pi d^2}{4}\right) = \frac{\rho\,\pi\,V^2}{4}\bigl(D^2 + d^2\bigr).í

Passo 5

Agora, para \rho=1000,kg/ m^{3}, V=4{,}6,m/s, D=0{,}100,m e d=0{,}025,m:
D^2 + d^2 = (0{,}100)^2 + (0{,}025)^2 = 0{,}010625\quad\text{m}^2,
F_{\rm ext} = \frac{1000\cdot\pi\cdot(4{,}6)^2}{4}\times 0{,}010625 \approx 1000\times 21{,}16\times 0{,}7854\times 0{,}010625 \approx 176{,}6\;\text{N}.

Resposta

F_{\rm ext} = \frac{\rho\,\pi\,V^2}{4}\bigl(D^2 + d^2\bigr) \quad\text{e numericamente}\quad F_{\rm ext}\approx 176{,}6\;\text{N}.

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