Questão 2. (1,5) Seja E=a, b, c, d um conjunto e considere a relação
R=(a, a),(a, b)^prime,(b, a),(a, c)^prime,(c, a),(b, b)^prime,(b, d),(d, d)
Determine quais propriedades a relação R satisfaz. Faça o esquema de flechas para R.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto E=a,b,c,d e a relação
R=(a,a),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,b),(b,d),(d,d)
O conteúdo é teoria de relações em conjuntos finitos. Vamos verificar se R é reflexiva, simétrica, antissimétrica e/ou transitiva e, por fim, construir o diagrama de flechas.

Passo 2

Verificação de reflexividade: uma relação em E é reflexiva se para todo xin E tivermos (x,x)in R. Aqui estão os laços em R:
(a,a), (b,b) e (d,d).
Falta (c,c).
Logo, R não é reflexiva (fica reflexiva apenas em a,b,d, mas não em todo E).

Passo 3

Verificação de simetria: R é simétrica se sempre que (x,y)in R então (y,x)in R.
  • Temos (a,b) e (b,a).
  • Temos (a,c) e (c,a).
  • Mas temos (b,d) sem (d,b).
    Logo, R não é simétrica.

Passo 4

Verificação de antissimetria: R é antissimétrica se sempre que (x,y)in R e (y,x)in R com xneq y então isso não acontece, a menos que x=y.
Aqui (a,b)in R e (b,a)in R com aneq b, o que quebra a antissimetria.
Logo, R não é antissimétrica.

Passo 5

Verificação de transitividade: R é transitiva se sempre que (x,y)in R e (y,z)in R então (x,z)in R.
Por exemplo, (a,b)in R e (b,d)in R exigiriam (a,d)in R, mas (a,d)notin R.
Logo, R não é transitiva.

Passo 6

Diagrama de flechas para R: considere os vértices a,b,c,d. Há loops em a, b e d; flechas em ambos os sentidos entre a e b; flechas em ambos os sentidos entre a e c; e uma flecha simples de b para d.

Resposta

A relação R não é reflexiva (falta (c,c)), não é simétrica (falta (d,b)), não é antissimétrica (tem (a,b) e (b,a) com aneq b) e não é transitiva (tem (a,b) e (b,d) sem (a,d)).
O diagrama de flechas é dado por loops em a,b,d, arcos duplos arightarrow b, arightarrow c e arco único bto d.

Exercícios relacionados