Questão 2.
Seja
um conjunto e considere a relação
Determine quais propriedades a relação
satisfaz. Faça o esquema de flechas para
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
O conteúdo é teoria de relações em conjuntos finitos. Vamos verificar se
é reflexiva, simétrica, antissimétrica e/ou transitiva e, por fim, construir o diagrama de flechas.
Passo 2
Verificação de reflexividade: uma relação em
é reflexiva se para todo
tivermos
. Aqui estão os laços em
:
,
e
.
Falta .
Logo, não é reflexiva (fica reflexiva apenas em
, mas não em todo
).
Falta
Logo,
Passo 3
Verificação de simetria:
é simétrica se sempre que
então
.
- Temos
e . - Temos
e . - Mas temos
sem .
Logo,não é simétrica.
Passo 4
Verificação de antissimetria:
é antissimétrica se sempre que
e
com
então isso não acontece, a menos que
.
Aqui e
com
, o que quebra a antissimetria.
Logo, não é antissimétrica.
Aqui
Logo,
Passo 5
Verificação de transitividade:
é transitiva se sempre que
e
então
.
Por exemplo, e
exigiriam
, mas
.
Logo, não é transitiva.
Por exemplo,
Logo,
Passo 6
Diagrama de flechas para
: considere os vértices
. Há loops em
,
e
; flechas em ambos os sentidos entre
e
; flechas em ambos os sentidos entre
e
; e uma flecha simples de
para
.
Resposta
A relação
não é reflexiva (falta
), não é simétrica (falta
), não é antissimétrica (tem
e
com
) e não é transitiva (tem
e
sem
).
O diagrama de flechas é dado por loops em , arcos duplos
,
e arco único
.
O diagrama de flechas é dado por loops em