Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n}}{4^{n}}.
Esse é um caso de série de potências centrada em x_{0}=-1, equivalente a uma série geométrica em termos de \frac{x+1}{4}. Vamos usar o teste da razão para achar o raio R e depois testar os extremos do intervalo \bigl[x_{0}-R,\;x_{0}+R\bigr].

Passo 2

Seja
a_{n} = \frac{(x+1)^{n}}{4^{n}}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \left|\frac{(x+1)^{n+1}/4^{n+1}}{(x+1)^{n}/4^{n}}\right| = \frac{|x+1|}{4}.
A série converge se
\frac{|x+1|}{4}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|<4.

Passo 3

Da condição |x+1|<4 deduzimos diretamente o raio de convergência
R = 4.

Passo 4

O intervalo aberto de convergência é
-4 < x+1 < 4 \quad\Longrightarrow\quad -5 < x < 3.
Agora testamos os extremos:
Para x=3: temos (x+1)/4 = 4/4=1, então os termos não tendem a zero e a série diverge.
Para x=-5: temos (x+1)/4 = -4/4=-1, então os termos são (-1)^{n}, também não tendem a zero e a série diverge.
Logo, os extremos não entram no intervalo de convergência.

Resposta

Raio de convergência: R=4.
Intervalo de convergência: -5 < x < 3.

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