Para quais valores de x a série abaixo é convergente?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de x\in\mathbb{R} para os quais a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{n^{2}}
é convergente. O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potências e vamos usar o teste da razão para obter o raio de convergência e depois checar a convergência nos extremos desse intervalo.

Passo 2

Seja a_{n}=\frac{(x-2)^{n}}{n^{2}}. Aplicando o teste da razão, calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty} \frac{\bigl|x-2\bigr|^{\,n+1}/(n+1)^{2}}{\bigl|x-2\bigr|^{\,n}/n^{2}} =\bigl|x-2\bigr|\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =\bigl|x-2\bigr|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo há convergência quando
\bigl|x-2\bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<3.

Passo 3

Agora analisamos os extremos x=1 e x=3:
  1. Em x=1 temos (x-2)^{n}=(-1)^{n}, e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Como \sum n^{-2} é convergente (série p-com p=2>1), esta converge absolutamente e, portanto, converge.
  1. Em x=3 temos (x-2)^{n}=1^{n}=1, e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que também é uma série p-com p=2>1 e portanto converge.

Resposta

A série converge para
1 \le x \le 3.

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