Utilizando o Teste da Raiz, determine a convergência da série abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n+4}{4 n+3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n+4}{4n+3}\Bigr)^{n}
e pede para testar sua convergência usando o Teste da Raiz. Esse teste afirma que, sendo a_n o n-ésimo termo da série, devemos calcular
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}
e comparar com 1.

Passo 2

Identificamos
a_n = \Bigl(\frac{3n+4}{4n+3}\Bigr)^{n}.
Aplicando o Teste da Raiz, temos
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =\sqrt[n]{\Bigl(\frac{3n+4}{4n+3}\Bigr)^{n}} =\frac{3n+4}{4n+3}.

Passo 3

Agora calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{3n+4}{4n+3}.
Como os termos de maior grau dominam, obtemos
L = \frac{3}{4}.

Passo 4

O valor encontrado é L=\tfrac{3}{4}, que satisfaz L<1. Pelo Teste da Raiz, isso implica que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Raiz.

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