Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(i) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}(x-1)^{n}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}(x-1)^{n}.
Perguntas:
Encontrar o raio de convergência.
Encontrar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge, incluindo testar os extremos).
Informações dadas e úteis: o centro da série é \,1 (porque aparece (x-1)^n) e os coeficientes que acompanham (x-1)^n são
a_n=\frac{n}{4^{n}}.
Passo 2
Qual método vou usar e por quê (curtinho e prático): para séries de potências da forma \sum a_n (x-c)^n é muito comum determinar o raio de convergência usando o teste da razão aplicado aos coeficientes a_n. Vou explicar por que isso funciona.
Se aplicarmos o teste da razão à série geral, para um x fixo temos que olhar o limite
Se o limite \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n| existir e for igual a L, a condição de convergência pelo teste da razão fica |x-c|\cdot L<1. Assim o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}.
Portanto vou calcular L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| e depois R=1/L.
Passo 3
Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| para a_n=\dfrac{n}{4^n}. Fazendo a razão:
A série é \sum_{n=0}^\infty n. Para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero quando n\to\infty; aqui o termo geral é n que tende a +\infty, portanto não tende a zero e a série diverge. Conclusão: em x=5 a série diverge.
Passo 7
Testando x=-3. Substituo x=-3:
(x-1)^n=(-3-1)^n=(-4)^n,
logo o termo geral fica
\frac{n}{4^{n}}(-4)^{n}=n\cdot(-1)^{n}.
O termo geral tem módulo |n\cdot(-1)^n|=n, que não tende a zero (vai para +\infty), portanto a série não pode convergir. Conclusão: em x=-3 a série diverge.
Resposta
Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: (-3,\,5)