Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(i) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}(x-1)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}(x-1)^{n}.
Perguntas:
  1. Encontrar o raio de convergência.
  2. Encontrar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge, incluindo testar os extremos).
    Informações dadas e úteis: o centro da série é \,1 (porque aparece (x-1)^n) e os coeficientes que acompanham (x-1)^n são
a_n=\frac{n}{4^{n}}.

Passo 2

Qual método vou usar e por quê (curtinho e prático): para séries de potências da forma \sum a_n (x-c)^n é muito comum determinar o raio de convergência usando o teste da razão aplicado aos coeficientes a_n. Vou explicar por que isso funciona.
Se aplicarmos o teste da razão à série geral, para um x fixo temos que olhar o limite
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n (x-c)^n}\right| =|x-c|\cdot\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se o limite \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n| existir e for igual a L, a condição de convergência pelo teste da razão fica |x-c|\cdot L<1. Assim o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}.
Portanto vou calcular L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| e depois R=1/L.

Passo 3

Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| para a_n=\dfrac{n}{4^n}. Fazendo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{n+1}{4^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{4^n}} =\frac{n+1}{4^{\,n+1}}\cdot\frac{4^n}{n} =\frac{n+1}{4n}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{4n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Como L=\dfrac{1}{4}, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{1/4}=4.
Interpretação: a série converge para |x-1|<4 e diverge para |x-1|>4. O intervalo central (sem testar extremos) é
(1-4,\;1+4)=(-3,\,5).

Passo 5

Agora é obrigatório testar os extremos x=-3 e x=5 separadamente.

Passo 6

Testando x=5. Substituo x=5 na série:
(x-1)^n=(5-1)^n=4^n,
logo o termo geral da série vira
\frac{n}{4^{n}}(5-1)^{n}=\frac{n}{4^{n}}\,4^{n}=n.
A série é \sum_{n=0}^\infty n. Para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero quando n\to\infty; aqui o termo geral é n que tende a +\infty, portanto não tende a zero e a série diverge. Conclusão: em x=5 a série diverge.

Passo 7

Testando x=-3. Substituo x=-3:
(x-1)^n=(-3-1)^n=(-4)^n,
logo o termo geral fica
\frac{n}{4^{n}}(-4)^{n}=n\cdot(-1)^{n}.
O termo geral tem módulo |n\cdot(-1)^n|=n, que não tende a zero (vai para +\infty), portanto a série não pode convergir. Conclusão: em x=-3 a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: (-3,\,5)

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