Trace o círculo de Mohr para um ponto material submetido ao seguinte Estado de
Deformação: \varepsilon=\left[\begin{array}{cc}\varepsilon_{x} & \gamma_{x y} \\\ \gamma_{x y} & \varepsilon_{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-350 & 80 \\\\ 80 & 200\end{array}\right] 10^{-6}.
Passo 1
O enunciado pede para traçar o círculo de Mohr para o estado de deformação dado. Perguntas implícitas que precisamos responder para traçar o círculo e usá‑lo na prova: quais são o centro e o raio do círculo; quais são as deformações principais (autovalores) e as direções principais (ângulos); qual é a máxima deformação cortante; e quais são as coordenadas dos pontos que representam as componentes dadas no plano de Mohr. Informações fornecidas pelo enunciado:
Aqui a unidade comum é 10^{-6} (microdeformações). O enunciado escreveu o termo fora do fator 10^{-6} e colocou \gamma_{xy} na posição off‑diagonal; por convenção de engenharia devemos lembrar que a componente de tensor de deformação é \varepsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}. Não resolvo nada neste passo; apenas listei o que o problema dá e o que ele pede.]
Passo 2
Escolha do procedimento e convenção (muito importante em prova). Para construir o círculo de Mohr para deformações eu vou:
Usar a componente de tensor de deformação \varepsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}. Explico: o enunciado deu \gamma_{xy} (deformação de engenharia), mas a formulação tensorial que entra no círculo usa \varepsilon_{xy}.
Trabalhar com o diagrama em que o eixo horizontal é a deformação normal \varepsilon e o eixo vertical é a componente de corte do tensor \varepsilon_{xy}. Assim os pontos do círculo correspondem a (\varepsilon_x,\varepsilon_{xy}) e (\varepsilon_y,-\varepsilon_{xy}).
Vou explicar as fórmulas que uso antes de aplicá‑las numericamente.
Passo 3
Fórmulas fundamentais (mini‑aula). Para um estado plano com componentes \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_{xy} (tensor), as transformações e o círculo de Mohr seguem destas identidades:
Centro do círculo (coordenada horizontal) é a média das deformações normais:
Explicação intuitiva: variaremos o ângulo da base e a combinação trigonométrica das componentes gera uma circunferência cuja equação é do tipo (\varepsilon-\text{Centro})^{2}+\varepsilon_{xy}^{2}=R^{2}.
Deformações principais (interseções do círculo com o eixo horizontal):
\varepsilon_{1,2}=\text{Centro}\pm R.
Direção dos eixos principais (ângulo \theta_p entre o eixo x e o eixo principal associado a \varepsilon_1):
Máxima deformação cortante (no sentido de tensor) é \varepsilon_{\max}^{\text{corte}}=R. Se você precisar da máxima deformação de engenharia de corte \gamma_{\max}, então \gamma_{\max}=2R (porque \gamma=2\varepsilon_{xy}).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do enunciado.
Passo 4
Converter a componente de engenharia \gamma_{xy} para a componente tensorial \varepsilon_{xy}. Dados:
Interpretação prática: \varepsilon_1 é a maior deformação normal, \varepsilon_2 a menor.
Passo 8
Calcular as direções principais (ângulos). Usando a fórmula com \operatorname{atan2} para evitar erro de quadrante:
2\theta_p=\operatorname{atan2}\big(2\varepsilon_{xy},\,\varepsilon_x-\varepsilon_y\big) =\operatorname{atan2}\big(80,\,-550\big)\quad\text{(valores em unidades }10^{-6}\text{ cancelam)}.
Compute numericamente: \operatorname{atan2}(80,-550) corresponde a um ângulo de aproximadamente 171{,}709^\circ (porque o ponto está no quadrante II). Então
Interpretação: o eixo principal associado a \varepsilon_1 está em torno de 85{,}85^\circ (quase alinhado com o eixo y), e o outro eixo principal está a -4{,}15^\circ (ou 355{,}85^\circ se preferir ângulo positivo).
Passo 9
Máxima deformação cortante:
Em termos do tensor de deformação (componente vertical do círculo), a máxima deformação cortante vale
Em termos de deformação de engenharia \gamma (duas vezes o tensor), a máxima deformação de engenharia de corte é
\gamma_{\max}=2R\approx 555{,}72\times 10^{-6}.
Passo 10
Como traçar o círculo de Mohr no papel (passo a passo prático para a prova):
No eixo horizontal (deformação normal) marque o ponto \varepsilon_x=-350\times 10^{-6} com coordenada vertical \varepsilon_{xy}=+40\times 10^{-6}. Esse é o ponto A: (\,-350\times10^{-6},\,40\times10^{-6}\,).
Marque o ponto B correspondente a \varepsilon_y=200\times10^{-6} com coordenada vertical -\varepsilon_{xy}=-40\times10^{-6}: ponto B: (\,200\times10^{-6},\,-40\times10^{-6}\,).
O centro do círculo fica em (-75\times10^{-6},\,0); com régua encontre o ponto médio entre A e B — esse é o centro.
Com compasso tomando raio R=277{,}86\times10^{-6} trace a circunferência com centro nesse ponto.
As interseções do círculo com o eixo horizontal dão \varepsilon_1 e \varepsilon_2. A linha entre A e o centro e um ângulo de 2\theta no círculo corresponde a um giro físico de \theta no elemento. Assim as direções principais calculadas se verificam geometricamente no círculo.