Trace o círculo de Mohr para um ponto material submetido ao seguinte Estado de
Deformação: \varepsilon=\left[\begin{array}{cc}\varepsilon_{x} & \gamma_{x y} \\\ \gamma_{x y} & \varepsilon_{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-350 & 80 \\\\ 80 & 200\end{array}\right] 10^{-6}.

Passo 1

O enunciado pede para traçar o círculo de Mohr para o estado de deformação dado. Perguntas implícitas que precisamos responder para traçar o círculo e usá‑lo na prova: quais são o centro e o raio do círculo; quais são as deformações principais (autovalores) e as direções principais (ângulos); qual é a máxima deformação cortante; e quais são as coordenadas dos pontos que representam as componentes dadas no plano de Mohr. Informações fornecidas pelo enunciado:
\varepsilon=\begin{pmatrix}\varepsilon_{x} & \gamma_{xy} \\[4pt] \gamma_{xy} & \varepsilon_{y}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-350 & 80 \\[4pt] 80 & 200\end{pmatrix}\times 10^{-6}.
Aqui a unidade comum é 10^{-6} (microdeformações). O enunciado escreveu o termo fora do fator 10^{-6} e colocou \gamma_{xy} na posição off‑diagonal; por convenção de engenharia devemos lembrar que a componente de tensor de deformação é \varepsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}. Não resolvo nada neste passo; apenas listei o que o problema dá e o que ele pede.]

Passo 2

Escolha do procedimento e convenção (muito importante em prova). Para construir o círculo de Mohr para deformações eu vou:
  • Usar a componente de tensor de deformação \varepsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}. Explico: o enunciado deu \gamma_{xy} (deformação de engenharia), mas a formulação tensorial que entra no círculo usa \varepsilon_{xy}.
  • Trabalhar com o diagrama em que o eixo horizontal é a deformação normal \varepsilon e o eixo vertical é a componente de corte do tensor \varepsilon_{xy}. Assim os pontos do círculo correspondem a (\varepsilon_x,\varepsilon_{xy}) e (\varepsilon_y,-\varepsilon_{xy}).
    Vou explicar as fórmulas que uso antes de aplicá‑las numericamente.

Passo 3

Fórmulas fundamentais (mini‑aula). Para um estado plano com componentes \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_{xy} (tensor), as transformações e o círculo de Mohr seguem destas identidades:
  • Centro do círculo (coordenada horizontal) é a média das deformações normais:
\text{Centro } = \dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}.
Aqui o centro no eixo vertical é zero porque usamos \varepsilon_{xy} como simetria entre os dois pontos opostos que representam as faces x e y.
  • Raio do círculo:
R=\sqrt{\left(\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^{2}+\varepsilon_{xy}^{2}}.
Explicação intuitiva: variaremos o ângulo da base e a combinação trigonométrica das componentes gera uma circunferência cuja equação é do tipo (\varepsilon-\text{Centro})^{2}+\varepsilon_{xy}^{2}=R^{2}.
  • Deformações principais (interseções do círculo com o eixo horizontal):
\varepsilon_{1,2}=\text{Centro}\pm R.
  • Direção dos eixos principais (ângulo \theta_p entre o eixo x e o eixo principal associado a \varepsilon_1):
\tan(2\theta_p)=\dfrac{2\,\varepsilon_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Na prática, usar a função \operatorname{atan2}(2\varepsilon_{xy},\varepsilon_x-\varepsilon_y) resolve o problema de quadrante; então
2\theta_p=\operatorname{atan2}\big(2\varepsilon_{xy},\,\varepsilon_x-\varepsilon_y\big),\qquad \theta_p=\tfrac{1}{2}\,2\theta_p.
  • Máxima deformação cortante (no sentido de tensor) é \varepsilon_{\max}^{\text{corte}}=R. Se você precisar da máxima deformação de engenharia de corte \gamma_{\max}, então \gamma_{\max}=2R (porque \gamma=2\varepsilon_{xy}).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do enunciado.

Passo 4

Converter a componente de engenharia \gamma_{xy} para a componente tensorial \varepsilon_{xy}. Dados:
\gamma_{xy}=80\times 10^{-6}.
Portanto
\varepsilon_{xy}=\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{80\times 10^{-6}}{2}=40\times 10^{-6}.
Também registramos \varepsilon_x=-350\times 10^{-6} e \varepsilon_y=200\times 10^{-6}.

Passo 5

Calcular o centro do círculo:
\text{Centro}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{-350+200}{2}\times 10^{-6}=\frac{-150}{2}\times 10^{-6}=-75\times 10^{-6}.
Interpretação: o centro fica em \varepsilon=-75\times10^{-6} no eixo horizontal do diagrama de Mohr.

Passo 6

Calcular o raio R. Primeiro a diferença meio:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{-350-200}{2}\times 10^{-6}=\frac{-550}{2}\times 10^{-6}=-275\times 10^{-6}.
Agora o raio:
R=\sqrt{(-275\times 10^{-6})^{2}+(40\times 10^{-6})^{2}} =10^{-6}\sqrt{275^{2}+40^{2}}.
Calcule o valor numérico:
275^{2}=75\,625,\qquad 40^{2}=1\,600,\qquad 75\,625+1\,600=77\,225,
R=10^{-6}\sqrt{77\,225}=10^{-6}\times 277{,}86\approx 277{,}86\times 10^{-6}.

Passo 7

Encontrar as deformações principais \varepsilon_1 e \varepsilon_2:
\varepsilon_1=\text{Centro}+R=(-75+277{,}86)\times 10^{-6}=202{,}86\times 10^{-6},
\varepsilon_2=\text{Centro}-R=(-75-277{,}86)\times 10^{-6}=-352{,}86\times 10^{-6}.
Interpretação prática: \varepsilon_1 é a maior deformação normal, \varepsilon_2 a menor.

Passo 8

Calcular as direções principais (ângulos). Usando a fórmula com \operatorname{atan2} para evitar erro de quadrante:
2\theta_p=\operatorname{atan2}\big(2\varepsilon_{xy},\,\varepsilon_x-\varepsilon_y\big) =\operatorname{atan2}\big(80,\,-550\big)\quad\text{(valores em unidades }10^{-6}\text{ cancelam)}.
Compute numericamente: \operatorname{atan2}(80,-550) corresponde a um ângulo de aproximadamente 171{,}709^\circ (porque o ponto está no quadrante II). Então
\theta_{1}=\frac{1}{2}\times 171{,}709^\circ\approx 85{,}8545^\circ.
A outra direção principal é perpendicular:
\theta_{2}=\theta_{1}-90^\circ\approx -4{,}1455^\circ.
Interpretação: o eixo principal associado a \varepsilon_1 está em torno de 85{,}85^\circ (quase alinhado com o eixo y), e o outro eixo principal está a -4{,}15^\circ (ou 355{,}85^\circ se preferir ângulo positivo).

Passo 9

Máxima deformação cortante:
  • Em termos do tensor de deformação (componente vertical do círculo), a máxima deformação cortante vale
\varepsilon_{\max}^{\text{corte}}=R\approx 277{,}86\times 10^{-6}.
  • Em termos de deformação de engenharia \gamma (duas vezes o tensor), a máxima deformação de engenharia de corte é
\gamma_{\max}=2R\approx 555{,}72\times 10^{-6}.

Passo 10

Como traçar o círculo de Mohr no papel (passo a passo prático para a prova):
  • No eixo horizontal (deformação normal) marque o ponto \varepsilon_x=-350\times 10^{-6} com coordenada vertical \varepsilon_{xy}=+40\times 10^{-6}. Esse é o ponto A: (\,-350\times10^{-6},\,40\times10^{-6}\,).
  • Marque o ponto B correspondente a \varepsilon_y=200\times10^{-6} com coordenada vertical -\varepsilon_{xy}=-40\times10^{-6}: ponto B: (\,200\times10^{-6},\,-40\times10^{-6}\,).
  • O centro do círculo fica em (-75\times10^{-6},\,0); com régua encontre o ponto médio entre A e B — esse é o centro.
  • Com compasso tomando raio R=277{,}86\times10^{-6} trace a circunferência com centro nesse ponto.
  • As interseções do círculo com o eixo horizontal dão \varepsilon_1 e \varepsilon_2. A linha entre A e o centro e um ângulo de 2\theta no círculo corresponde a um giro físico de \theta no elemento. Assim as direções principais calculadas se verificam geometricamente no círculo.

Resposta

Centro: \displaystyle -75\times 10^{-6}
Raio: \displaystyle 277{,}86\times 10^{-6}
\displaystyle \varepsilon_1=202{,}86\times 10^{-6}
\displaystyle \varepsilon_2=-352{,}86\times 10^{-6}
\displaystyle \theta_1=85{,}85^\circ (direção do eixo correspondente a \varepsilon_1)
\displaystyle \theta_2=-4{,}15^\circ (direção do eixo correspondente a \varepsilon_2)
Máxima deformação cortante (tensor): \displaystyle \varepsilon_{\max}^{\text{corte}}=277{,}86\times 10^{-6}
Máxima deformação cortante (engenharia): \displaystyle \gamma_{\max}=555{,}72\times 10^{-6}

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