Seja
um polinômio de grau
em
. Qual é a série de Maclaurin de
?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com coeficientes reais
e grau
. A pergunta é: qual é a série de Maclaurin de
(ou seja, a expansão de Taylor de
em torno de
)?
Passo 2
Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin de uma função
. Por definição, a série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em
:
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
e
é o fatorial de
(por exemplo,
). Essa série representa a função como soma de potências de
com coeficientes dados pelas derivadas em
.
Passo 3
Agora calculemos as derivadas de
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de
é
. Assim,
De maneira análoga, a
-ésima derivada (para
) é
Aqui
é o produto dos
primeiros fatores decrescentes de
. Note que na soma o índice
começa em
porque termos com
desaparecem ao derivar
vezes.
Passo 4
Avaliando em
obtemos
. Na expressão anterior, cada termo tem um fator
. Para
esse expoente é positivo e
vale
em
; para
o expoente é
e
. Logo só sobrevive o termo com
. Assim
porque
. Para
temos
porque o polinômio já foi totalmente derivado.
Passo 5
Substituímos
na fórmula da série de Maclaurin:
Como
para
(ou simplesmente porque o polinômio tem grau
), a soma infinita reduz-se a uma soma finita:
Portanto a série de Maclaurin de
é exatamente o próprio polinômio; não há termos de ordem superior porque todas as derivadas acima de
são nulas.