Seja p(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n} x^{n} um polinômio de grau n em \mathbb{R}. Qual é a série de Maclaurin de p ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n},
com coeficientes reais a_{0},a_{1},\dots,a_{n} e grau n. A pergunta é: qual é a série de Maclaurin de p (ou seja, a expansão de Taylor de p em torno de 0)?

Passo 2

Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin de uma função f. Por definição, a série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em 0:
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0 e k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1). Essa série representa a função como soma de potências de x com coeficientes dados pelas derivadas em 0.

Passo 3

Agora calculemos as derivadas de p. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de a_j x^j é a_j j x^{j-1}. Assim,
p'(x)=\sum_{j=1}^{n} a_j j x^{j-1}.
De maneira análoga, a k-ésima derivada (para 0\le k\le n) é
p^{(k)}(x)=\sum_{j=k}^{n} a_j \frac{j!}{(j-k)!}\,x^{\,j-k}.
Aqui \frac{j!}{(j-k)!}=j(j-1)\cdots (j-k+1) é o produto dos k primeiros fatores decrescentes de j. Note que na soma o índice j começa em k porque termos com j<k desaparecem ao derivar k vezes.

Passo 4

Avaliando em x=0 obtemos p^{(k)}(0). Na expressão anterior, cada termo tem um fator x^{\,j-k}. Para j>k esse expoente é positivo e x^{\,j-k} vale 0 em x=0; para j=k o expoente é 0 e x^{0}=1. Logo só sobrevive o termo com j=k. Assim
p^{(k)}(0)=a_k\frac{k!}{(k-k)!}=a_k k!,
porque (k-k)! = 0! = 1. Para k>n temos p^{(k)}(0)=0 porque o polinômio já foi totalmente derivado.

Passo 5

Substituímos p^{(k)}(0)=a_k k! na fórmula da série de Maclaurin:
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{p^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k k!}{k!}\,x^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^{k}.
Como a_k=0 para k>n (ou simplesmente porque o polinômio tem grau n), a soma infinita reduz-se a uma soma finita:
\sum_{k=0}^{n}a_k x^{k}=a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{n}x^{n}.
Portanto a série de Maclaurin de p é exatamente o próprio polinômio; não há termos de ordem superior porque todas as derivadas acima de n são nulas.

Resposta

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{n}x^{n}.

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