Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n-1}}{(2 n-1)!};

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{2n-1}}{(2n-1)!}\!,
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o critério da razão (Cauchy) para séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{(-1)^{n}\,x^{2n-1}}{(2n-1)!}
e calculamos a razão \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|.

Passo 3

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2(n+1)-1}/(2(n+1)-1)!}{(-1)^{n}\,x^{2n-1}/(2n-1)!}\right| = \left|\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,\frac{(2n-1)!}{x^{2n-1}}\right| = \left|\frac{x^2}{2n\,(2n+1)}\right|.

Passo 4

Ao fazer n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{2n\,(2n+1)} = 0.
Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que o raio de convergência é
R = \infty.

Passo 5

Quando R=\infty, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

R = \infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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