Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries adiante: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}(x+3)^{n}}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}(x+3)^{n}}{2^{n}}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A série é uma série de potências centrada em -3, pois os termos envolvem (x+3)^{n}.
Os coeficientes (em frente a (x+3)^{n}) são a_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}.
Precisamos encontrar o raio R tal que a série converge para |x+3|<R e depois verificar o que acontece nos extremos |x+3|=R.
Passo 2
Vamos usar o Teste da Razão (criterioso e simples aqui) para encontrar o raio de convergência. Vou primeiro explicar o que é o Teste da Razão para séries de termos u_n:
Se L<1 a série \sum u_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
No caso de uma série de potências \sum a_n (x-x_0)^n, aplicar o teste da razão normalmente dá uma condição do tipo |x-x_0|<R, onde R é o raio de convergência.
Passo 3
Identificamos u_n=\dfrac{n^{2}(x+3)^{n}}{2^{n}}. Vamos calcular a razão \left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right| e seu limite quando n\to\infty. Primeiro escrevo a razão:
Expliquei cada fator: \dfrac{(n+1)^2}{n^2} vem dos n^{2} e (n+1)^{2}, e \dfrac{|x+3|}{2} vem de simplificar \dfrac{|x+3|^{n+1}}{|x+3|^{n}}\cdot \dfrac{1}{2^{\,n+1}} \cdot 2^{n}.
Sabemos que \lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{2}}{n^{2}}=1 porque o termo dominante é n^{2} em numerador e denominador (pense em dividir numerador e denominador por n^{2}). Logo
L=\frac{|x+3|}{2}.
Passo 6
Pelo Teste da Razão, para convergência absoluta precisamos de L<1, isto é
\frac{|x+3|}{2}<1.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
|x+3|<2.
Isto significa que o raio de convergência é R=2 e a região de convergência absoluta é o intervalo aberto em torno de -3 com raio 2: -3-2<x<-3+2, isto é -5<x<-1.
Passo 7
Agora precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo: x=-5 e x=-1. Sempre que achamos R devemos testar |x+3|=R porque o Teste da Razão foi inconclusivo exatamente aí.
Passo 8
Teste do extremo x=-5:
Substituo x=-5 em (x+3)^{n}. Da imagem do enunciado (ou do próprio cálculo), (x+3)=(-5+3)=-2. Então (x+3)^{n}=(-2)^{n}.
O termo geral da série vira
u_n=\frac{n^{2}(-2)^{n}}{2^{n}} = n^{2}(-1)^{n},
pois \dfrac{(-2)^{n}}{2^{n}} = (-1)^{n}.
Para que uma série \sum u_n possa convergir, é necessário (condição necessária) que u_n\to 0 quando n\to\infty. Aqui u_n=n^{2}(-1)^{n} não tende a 0; na verdade |u_n|=n^{2}\to\infty. Logo a série diverge imediatamente. Não há necessidade de testes alternados: a divergência é direta pelo termo geral não tender a zero.
Passo 9
Teste do extremo x=-1:
Substituo x=-1: (x+3)=(-1+3)=2. Então (x+3)^{n}=2^{n}.
O termo geral torna-se
u_n=\frac{n^{2}2^{n}}{2^{n}} = n^{2}.
Novamente, \lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty} n^{2} = \infty, ou seja, os termos não tendem a zero; portanto a série diverge também nesse extremo.
Passo 10
Concluímos que nos dois extremos x=-5 e x=-1 a série diverge. Assim o intervalo de convergência é exatamente o intervalo aberto encontrado a partir do raio.
Resposta
Raio de convergência: R=2
Intervalo de convergência: (-5,-1)