Encontre o raio de convergência e o interyalo de convergência só é necessário achar o raio de convergência!
sumn=0^infty (x-2)^nn^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=2:
sumn=0^infty(x-2)^nn^2+1,
e pede o raio de convergência. Para séries de potências, uma forma padrão de encontrar o raio de convergência é usar o Critério da Razão.

Passo 2

Definimos
an = (x-2)^nn^2+1
Pelo Critério da Razão, consideramos
|an+1an| = |(x-2)^n+1/l((n+1)^2+1r)(x-2)^n/(n^2+1)| = |x-2|;n^2+1(n+1)^2+1

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|an+1an| = limntoinftyl(|x-2|;n^2+1(n+1)^2+1r) = |x-2|;limntoinftyn^2+1n^2+2n+2 = |x-2|
Para convergir, precisamos desse limite ser menor que 1:
|x-2| < 1
Isto diz que o raio de convergência é R=1.

Resposta

O raio de convergência é 1.

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