Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de uma fração polinomial, que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a integração de frações racionais. Pra isso, vamos precisar simplificar a fração e depois integrar cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que o grau do numerador (grau 3) é igual ao grau do denominador (grau 3). Quando isso acontece, a gente faz uma divisão polinomial para separar a fração em uma parte inteira mais uma fração onde o numerador tem grau menor que o denominador.
Vamos dividir
por
.
Agora, a integral fica:
Passo 3
Vamos agora focar na fração
. Podemos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
-
Para integrar isso, podemos usar frações parciais:
Resolvendo, encontramos
e
, então:
-
Novamente, usamos frações parciais:
Resolvendo, encontramos
,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a: