Calcule a integral
integral x^3+4 x^2+x-1x^3+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de uma fração polinomial, que é assim:
integral x^3 + 4x^2 + x - 1x^3 + x^2 , dx
O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a integração de frações racionais. Pra isso, vamos precisar simplificar a fração e depois integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que o grau do numerador (grau 3) é igual ao grau do denominador (grau 3). Quando isso acontece, a gente faz uma divisão polinomial para separar a fração em uma parte inteira mais uma fração onde o numerador tem grau menor que o denominador.
Vamos dividir x^3 + 4x^2 + x - 1 por x^3 + x^2.
x^3 + 4x^2 + x - 1x^3 + x^2 = 1 + 3x^2 + x - 1x^3 + x^2
Agora, a integral fica:
integral (1 + 3x^2 + x - 1x^3 + x^2) , dx

Passo 3

Vamos agora focar na fração 3x^2 + x - 1x^3 + x^2. Podemos fatorar o denominador:
x^3 + x^2 = x^2(x + 1)
Então, a fração fica:
3x^2 + x - 1x^2(x + 1)
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
3x^2x^2(x + 1) + xx^2(x + 1) - 1x^2(x + 1) = 3x + 1 + 1x(x + 1) - 1x^2(x + 1)

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 3x + 1 , dx = 3 ln|x + 1|
  2. integral 1x(x + 1) , dx
    Para integrar isso, podemos usar frações parciais:
1x(x + 1) = Ax + Bx + 1
Resolvendo, encontramos A = 1 e B = -1, então:
integral (1x - 1x + 1) , dx = ln|x| - ln|x + 1|
  1. integral -1x^2(x + 1) , dx
    Novamente, usamos frações parciais:
-1x^2(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx + 1
Resolvendo, encontramos A = 1, B = 1 e C = -1, então:
integral (1x + 1x^2 - 1x + 1) , dx = ln|x| - 1x - ln|x + 1|

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo:
integral (1 + 3x + 1 + 1x - 1x + 1 - 1x^2 ) , dx = integral 1 , dx + 3 ln|x + 1| + ln|x| - ln|x + 1| - 1x + C
Simplificando:
x + 2 ln|x + 1| + ln|x| - 1x + C

Resposta

A integral é igual a:
x + 2, ln|x + 1| + ln|x| - 1x + C

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