Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Esse problema envolve o cálculo de integrais racionais, onde a função a ser integrada é um quociente de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a fração parcial, uma técnica que decompõe a fração em termos mais simples que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
pode ser fatorado como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Para encontrar os valores de
e
, substituímos
e
respectivamente:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, para encontrar
e
, substituímos outros valores de
ou comparando os coeficientes. Vamos escolher
para simplificar:
Escolhemos mais um valor,
:
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo as equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos todos os coeficientes, nossa decomposição fica:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Calculando cada integral:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: