Calcule a integral
integral d x(x^2-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral dx(x^2 - 1)^2. Esse problema envolve o cálculo de integrais racionais, onde a função a ser integrada é um quociente de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a fração parcial, uma técnica que decompõe a fração em termos mais simples que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador (x^2 - 1)^2. Sabemos que x^2 - 1 pode ser fatorado como (x - 1)(x + 1). Então, temos:
1(x^2 - 1)^2 = 1(x - 1)^2(x + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
1(x - 1)^2(x + 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 1 + D(x + 1)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B, C e D.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 1)^2(x + 1)^2 para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 1)(x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1)(x - 1)^2 + D(x - 1)^2

Passo 5

Para encontrar os valores de B e D, substituímos x = 1 e x = -1 respectivamente:
  • Para x = 1:
1 = B(1 + 1)^2 Rightarrow 1 = 4B Rightarrow B = 14
  • Para x = -1:
1 = D(-1 - 1)^2 Rightarrow 1 = 4D Rightarrow D = 14

Passo 6

Agora, para encontrar A e C, substituímos outros valores de x ou comparando os coeficientes. Vamos escolher x = 0 para simplificar:
1 = A(-1)(1)^2 + 14(1)^2 + C(1)(-1)^2 + 14(-1)^2
1 = -A + 14 + C + 14
1 = -A + C + 12 Rightarrow -A + C = 12
Escolhemos mais um valor, x = 2:
1 = A(1)(3)^2 + 14(3)^2 + C(3)(1)^2 + 14(1)^2
1 = 9A + 94 + 3C + 14
1 = 9A + 3C + 104 Rightarrow 9A + 3C = -1.5
3A + C = -0.5
Resolvendo o sistema de equações:
- A + C = 0.5
3A + C = -0.5
Subtraindo as equações:
4A = -1 Rightarrow A = -14
Substituindo A na primeira equação:
-(-14) + C = 0.5 Rightarrow 14 + C = 0.5 Rightarrow C = 14

Passo 7

Agora que temos todos os coeficientes, nossa decomposição fica:
1(x^2 - 1)^2 = -14x - 1 + 14(x - 1)^2 + 14x + 1 + 14(x + 1)^2
Simplificando:
1(x^2 - 1)^2 = -14(x - 1) + 14(x - 1)^2 + 14(x + 1) + 14(x + 1)^2

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 1(x^2 - 1)^2 dx = -14 integral 1x - 1 dx + 14 integral 1(x - 1)^2 dx + 14 integral 1x + 1 dx + 14 integral 1(x + 1)^2 dx

Passo 9

Calculando cada integral:
-14 ln|x - 1| - 14 cdot 1x - 1 + 14 ln|x + 1| - 14 cdot 1x + 1 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral dx(x^2 - 1)^2 é igual a:
14 ln|x + 1x - 1| - 14(x - 1) - 14(x + 1) + C

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