Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{termos: } a_n(x)=\frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}}.
Não há restrição adicional no enunciado (por exemplo, nenhum valor especial de x fornecido).

Passo 2

Qual método usar? Para séries com fatoriais é natural usar o teste da razão (ratio test), pois o quociente entre termos consecutivos simplifica bastante quando aparecem n!. Vou aplicar o teste da razão às normas (valores absolutos) dos termos para estudar convergência absoluta — isso nos dará o raio de convergência.

Passo 3

Escrevo o módulo do termo geral e o quociente entre termos consecutivos. O termo em módulo é
|a_n(x)|=\frac{|x|^{2n}}{2^{2n}(n!)^{2}}.
O quociente entre o termo (n+1)-ésimo e o n-ésimo é
\frac{|a_{n+1}(x)|}{|a_n(x)|} = \frac{|x|^{2(n+1)}}{2^{2(n+1)}((n+1)!)^{2}}\cdot\frac{2^{2n}(n!)^{2}}{|x|^{2n}}.

Passo 4

Agora simplifico o quociente passo a passo. Cancelando potências de x e de 2 e usando (n+1)!=(n+1)n!, obtemos
\frac{|a_{n+1}(x)|}{|a_n(x)|} = \frac{|x|^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{(n!)^{2}}{((n+1)!)^{2}} = \frac{|x|^{2}}{4}\cdot\frac{1}{(n+1)^{2}}.

Passo 5

Aplicando o teste da razão: para convergência absoluta precisamos que o limite desta razão, quando n\to\infty, seja menor que 1. Calculo o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}(x)|}{|a_n(x)|} = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{4}\cdot\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Como \frac{1}{(n+1)^{2}}\to 0 quando n\to\infty, o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}(x)|}{|a_n(x)|}=0
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Interpretação do resultado: o teste da razão diz que se esse limite é menor que 1 então a série converge absolutamente. Aqui o limite é 0 para todo x, portanto a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Em termos de raio de convergência R (definido por: a série converge absolutamente para |x|<R e diverge para |x|>R), isso implica que R=\infty.

Passo 7

Intervalo de convergência: como o raio R=\infty, a série converge (absolutamente) para todos os números reais. Logo o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Resposta

\text{Raio de convergência: }R=\inftyê
\text{Intervalo de convergência: }(-\infty,\infty)ê

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