Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não há restrição adicional no enunciado (por exemplo, nenhum valor especial de
fornecido).
Passo 2
Qual método usar? Para séries com fatoriais é natural usar o teste da razão (ratio test), pois o quociente entre termos consecutivos simplifica bastante quando aparecem
. Vou aplicar o teste da razão às normas (valores absolutos) dos termos para estudar convergência absoluta — isso nos dará o raio de convergência.
Passo 3
Escrevo o módulo do termo geral e o quociente entre termos consecutivos. O termo em módulo é
O quociente entre o termo
-ésimo e o
-ésimo é
Passo 4
Agora simplifico o quociente passo a passo. Cancelando potências de
e de
e usando
, obtemos
Passo 5
Aplicando o teste da razão: para convergência absoluta precisamos que o limite desta razão, quando
, seja menor que
. Calculo o limite:
Como
quando
, o limite é
para todo
.
Passo 6
Interpretação do resultado: o teste da razão diz que se esse limite é menor que
então a série converge absolutamente. Aqui o limite é
para todo
, portanto a série converge absolutamente para todo
. Em termos de raio de convergência
(definido por: a série converge absolutamente para
e diverge para
), isso implica que
.
Passo 7
Intervalo de convergência: como o raio
, a série converge (absolutamente) para todos os números reais. Logo o intervalo de convergência é
.