Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n 5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar o raio de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n 5^{n}}.
  2. Determinar o intervalo (conjunto de valores de x) em que essa série converge, inclusive analisar o comportamento nos extremos do intervalo.
Informações dadas:
\text{Série: }\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n 5^{n}}.é
Nenhuma outra informação foi fornecida; vamos usar testes de convergência padrão para séries de potências.

Passo 2

Qual método usar para achar o raio de convergência?
Explicação rápida do método que vou usar: para séries de potências da forma \sum a_n x^n é comum aplicar o teste da razão (ou o teste da raiz) para encontrar o raio R. O teste da razão é direto aqui porque os termos têm fator x^n e um fator 5^n no denominador, então as potências simplificam bem. Vou aplicar o teste da razão.
Breve aula sobre o teste da razão (enunciado e ideia):
Se temos uma série com termos u_n(x) dependendo de x e o limite
L(x)=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|
existe, então:
  • se L(x)<1 a série converge;
  • se L(x)>1 a série diverge;
  • se L(x)=1 o teste é inconclusivo.
    Para séries de potências isso permite encontrar o conjunto |x|<R onde converge, com R dado por R=1/\lim_{n\to\infty} \root n\of{|a_n|} ou por manipular o limite da razão, como farei.

Passo 3

Calcular o limite do teste da razão para os termos
u_n(x)=\frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n 5^{n}}.
Primeiro tomo valor absoluto (o sinal alternante não afeta a convergência absoluta):
|u_n(x)|=\frac{|x|^{n}}{n 5^{n}}.
Agora aplico a razão entre termos consecutivos e faço o limite:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)5^{\,n+1}}}{\dfrac{|x|^{\,n}}{n5^{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{5}\cdot\frac{n}{n+1}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\frac{|x|}{5}.

Passo 4

Interpretação do resultado do teste da razão: a série converge (pelo teste da razão) sempre que
\frac{|x|}{5}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<5.
Portanto o raio de convergência é
R=5.
Explicação adicional (abordagem conceitual): para séries de potências isso significa que temos convergência absoluta para todo x tal que |x|<5. Para |x|>5 o limite da razão é maior que 1 e a série diverge. Resta analisar os pontos de fronteira |x|=5 separadamente.

Passo 5

Análise do ponto x=5. Substituindo x=5 na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 5^{n}}{n 5^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Esta é a série harmônica alternada (série de Leibniz). Vou recordar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente e tal que \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge. Aqui b_n=1/n tem b_{n+1}<b_n e \lim_{n\to\infty} b_n=0, logo por Leibniz a série converge. Observação sobre convergência absoluta: a série dos módulos seria \sum_{n=1}^\infty 1/n, que diverge (série harmônica), então a convergência em x=5 é condicional, não absoluta.

Passo 6

Análise do ponto x=-5. Substituindo x=-5 na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} (-5)^{n}}{n 5^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(-1)^{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n}.
No passo acima usei que (-5)^n= (-1)^n 5^n, e simplificam-se os 5^n. Assim o termo geral é -1/n. A série \sum -1/n é (menos) a série harmônica, que diverge (os termos não formam uma sequência que tenha soma finita). Portanto a série diverge em x=-5. Outra forma de ver: os termos não tendem a zero de sinal alternado suficiente para convergência; de fato os termos são -1/n e a soma parcial tende a -\infty em sentido de divergência (não converge).

Passo 7

Conclusão sobre o intervalo de convergência: a série converge absolutamente para |x|<5, converge condicionalmente em x=5 e diverge em x=-5 e para |x|>5. Portanto o intervalo de convergência (conjunto de x reais onde a série converge) é
(-5,5].

Resposta

Raio de convergência: 5
Intervalo de convergência: (-5,5]

Exercícios relacionados