Nenhuma outra informação foi fornecida; vamos usar testes de convergência padrão para séries de potências.
Passo 2
Qual método usar para achar o raio de convergência?
Explicação rápida do método que vou usar: para séries de potências da forma \sum a_n x^n é comum aplicar o teste da razão (ou o teste da raiz) para encontrar o raio R. O teste da razão é direto aqui porque os termos têm fator x^n e um fator 5^n no denominador, então as potências simplificam bem. Vou aplicar o teste da razão.
Breve aula sobre o teste da razão (enunciado e ideia):
Se temos uma série com termos u_n(x) dependendo de x e o limite
se L(x)=1 o teste é inconclusivo.
Para séries de potências isso permite encontrar o conjunto |x|<R onde converge, com R dado por R=1/\lim_{n\to\infty} \root n\of{|a_n|} ou por manipular o limite da razão, como farei.
Passo 3
Calcular o limite do teste da razão para os termos
u_n(x)=\frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n 5^{n}}.
Primeiro tomo valor absoluto (o sinal alternante não afeta a convergência absoluta):
|u_n(x)|=\frac{|x|^{n}}{n 5^{n}}.
Agora aplico a razão entre termos consecutivos e faço o limite:
Explicação adicional (abordagem conceitual): para séries de potências isso significa que temos convergência absoluta para todo x tal que |x|<5. Para |x|>5 o limite da razão é maior que 1 e a série diverge. Resta analisar os pontos de fronteira |x|=5 separadamente.
Passo 5
Análise do ponto x=5. Substituindo x=5 na série obtemos
Esta é a série harmônica alternada (série de Leibniz). Vou recordar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente e tal que \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge. Aqui b_n=1/n tem b_{n+1}<b_n e \lim_{n\to\infty} b_n=0, logo por Leibniz a série converge. Observação sobre convergência absoluta: a série dos módulos seria \sum_{n=1}^\infty 1/n, que diverge (série harmônica), então a convergência em x=5 é condicional, não absoluta.
Passo 6
Análise do ponto x=-5. Substituindo x=-5 na série obtemos
No passo acima usei que (-5)^n= (-1)^n 5^n, e simplificam-se os 5^n. Assim o termo geral é -1/n. A série \sum -1/n é (menos) a série harmônica, que diverge (os termos não formam uma sequência que tenha soma finita). Portanto a série diverge em x=-5. Outra forma de ver: os termos não tendem a zero de sinal alternado suficiente para convergência; de fato os termos são -1/n e a soma parcial tende a -\infty em sentido de divergência (não converge).
Passo 7
Conclusão sobre o intervalo de convergência: a série converge absolutamente para |x|<5, converge condicionalmente em x=5 e diverge em x=-5 e para |x|>5. Portanto o intervalo de convergência (conjunto de x reais onde a série converge) é
(-5,5].
Resposta
Raio de convergência: 5
Intervalo de convergência: (-5,5]