Questão 7

Ainda não respondida
Vale 2,50 ponto(s).
Calcule a integral de linha \int_{C}(x+y) d s onde C é a intersecção das superfícies z=x^{2}+y^{2} e z=4.
Escolha uma opção:
◯ a. \frac{1}{6}(17 \sqrt{17}-1)
◯ b. 0
◯ c. 6
◯ d. -\frac{1}{27}+\frac{10 \sqrt{10}}{27}
◯ e. 12
◯ e. 12
Verifique se o campo vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\left((\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})^{\frac{4}{3}},(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})^{\frac{4}{3}},(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})^{\frac{4}{3}}\right) é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial f e o valor da integral \int_{(0,0,0)}^{(a, b, c)} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Primeiro pedido: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}(x+y)\,ds onde C é a intersecção das superfícies \displaystyle z=x^{2}+y^{2} e \displaystyle z=4.
  • Informação sobre C: a intersecção é dada por \displaystyle x^{2}+y^{2}=4 com \displaystyle z=4. Ou seja, C é a circunferência de raio 2 no plano \displaystyle z=4.
  • Segundo pedido: verificar se o campo vetorial \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\big((x+y+z)^{\frac{4}{3}},(x+y+z)^{\frac{4}{3}},(x+y+z)^{\frac{4}{3}}\big) é conservativo; em caso afirmativo encontrar uma função potencial f e calcular \displaystyle \int_{(0,0,0)}^{(a,b,c)}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Parametrização da curva C e cálculo de ds.
  • Como C é a circunferência de raio 2 no plano z=4, escolho a parametrização usual
\vec{r}(t)=\big(2\cos t,\;2\sin t,\;4\big),\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • Derivando em relação a t,
\vec{r}\,'(t)=\big(-2\sin t,\;2\cos t,\;0\big).
  • O elemento de comprimento de arco é ds=|\vec{r}\,'(t)|\,dt. Calculo a velocidade:
|\vec{r}\,'(t)|=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}+0^{2}}=\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t}=\sqrt{4}=2.
Portanto \displaystyle ds=2\,dt.

Passo 3

Substituir na integral e integrar passo a passo.
  • A função integranda ao longo da curva é x+y. Usando a parametrização, obtemos
x(t)+y(t)=2\cos t+2\sin t=2(\cos t+\sin t).
  • Assim a integral de linha torna-se
\int_{C}(x+y)\,ds=\int_{0}^{2\pi} \big(2(\cos t+\sin t)\big)\cdot(2\,dt) =4\int_{0}^{2\pi}(\cos t+\sin t)\,dt.
  • Calculo a integral:
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=\sin t\Big|_{0}^{2\pi}=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=-\cos t\Big|_{0}^{2\pi}=0.
  • Portanto
\int_{C}(x+y)\,ds=4(0+0)=0.

Passo 4

Interpretação rápida (pedacinho didático): por simetria, ao percorrer toda a circunferência completa, as contribuições de x e de y se cancelam, então a integral de x+y ao longo de uma volta completa dá zero. A conta acima mostra isso explicitamente.

Passo 5

Começando a segunda parte: verificar se \vec{F} é conservativo.
  • Defino S=x+y+z e g(S)=S^{\frac{4}{3}}. Então \vec{F}=(g(S),g(S),g(S)).
  • Uma condição prática: se as derivadas parciais de \vec{F} são contínuas em um domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^{3}) e o rotacional de \vec{F} é nulo, então \vec{F} é conservativo.
  • Calculo as derivadas parciais. Como g depende só de S e \partial S/\partial x=\partial S/\partial y=\partial S/\partial z=1, temos
\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=g'(S),\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=g'(S),
e análogamente todas as combinações relevantes produzem o mesmo g'(S). Assim o rotacional é nulo porque as diferenças de derivadas mistas cancelam:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
  • Sobre continuidade de g'(S): g'(S)=\dfrac{4}{3}S^{\frac{1}{3}}, que é contínua para todo S\in\mathbb{R} (a raiz cúbica é bem definida para negativos). Logo as derivadas parciais são contínuas em \mathbb{R}^{3}.
  • Conclusão: como o rotacional é zero e o domínio é simplesmente conexo, \vec{F} é conservativo.

Passo 6

Determinar uma função potencial f.
  • Queremos f tal que \nabla f=\vec{F}. Começo integrando \dfrac{\partial f}{\partial x}= (x+y+z)^{\frac{4}{3}} em relação a x, tratando y,z como constantes:
f(x,y,z)=\int (x+y+z)^{\frac{4}{3}}\,dx.
  • Faço a substituição u=x+y+z, então du=dx (porque y,z constantes). Assim
\int (x+y+z)^{\frac{4}{3}}\,dx=\int u^{\frac{4}{3}}\,du=\frac{u^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}=\frac{3}{7}u^{\frac{7}{3}}.
  • Voltando a x,y,z,
f(x,y,z)=\frac{3}{7}(x+y+z)^{\frac{7}{3}}+C(y,z),
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y,z.
  • Para determinar C(y,z), uso a condição \dfrac{\partial f}{\partial y}=(x+y+z)^{\frac{4}{3}}. Calculo \dfrac{\partial}{\partial y} de \dfrac{3}{7}(x+y+z)^{\frac{7}{3}}:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{3}{7}(x+y+z)^{\frac{7}{3}}\right)=\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{3}(x+y+z)^{\frac{4}{3}}=(x+y+z)^{\frac{4}{3}}.
Portanto \dfrac{\partial C}{\partial y}=0. Análogo para \partial C/\partial z. Assim C é uma constante real C\in\mathbb{R}.
  • Posso escolher C=0 (potencial definido a menos de uma constante). Logo uma função potencial é
f(x,y,z)=\frac{3}{7}(x+y+z)^{\frac{7}{3}}.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{(0,0,0)}^{(a,b,c)}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando o potencial.
  • Para um campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores do potencial nos pontos finais:
\int_{(0,0,0)}^{(a,b,c)}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(a,b,c)-f(0,0,0).
  • Substituindo f,
f(a,b,c)=\frac{3}{7}(a+b+c)^{\frac{7}{3}},\qquad f(0,0,0)=\frac{3}{7}(0)^{\frac{7}{3}}=0.
  • Portanto
\int_{(0,0,0)}^{(a,b,c)}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{3}{7}(a+b+c)^{\frac{7}{3}}.

Resposta

\displaystyle 0
\displaystyle\text{\(\vec{F} é conservativo; }f(x,y,z)=\frac{3}{7}(x+y+z)^{\frac{7}{3}};\quad \int_{(0,0,0)}^{(a,b,c)}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{3}{7}(a+b+c)^{\frac{7}{3}})

Exercícios relacionados