Calcule a integral de linha \int_{C}(x+y) d s onde C é a intersecção das superfícies z=x^{2}+y^{2} e z=4.
Escolha uma opção:
◯ a. \frac{1}{6}(17 \sqrt{17}-1)
◯ b. 0
◯ c. 6
◯ d. -\frac{1}{27}+\frac{10 \sqrt{10}}{27}
◯ e. 12
◯ e. 12
Verifique se o campo vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\left((\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})^{\frac{4}{3}},(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})^{\frac{4}{3}},(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})^{\frac{4}{3}}\right) é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial f e o valor da integral \int_{(0,0,0)}^{(a, b, c)} \vec{F} \cdot d \vec{r}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
Primeiro pedido: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}(x+y)\,ds onde C é a intersecção das superfícies \displaystyle z=x^{2}+y^{2} e \displaystyle z=4.
Informação sobre C: a intersecção é dada por \displaystyle x^{2}+y^{2}=4 com \displaystyle z=4. Ou seja, C é a circunferência de raio 2 no plano \displaystyle z=4.
Segundo pedido: verificar se o campo vetorial \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\big((x+y+z)^{\frac{4}{3}},(x+y+z)^{\frac{4}{3}},(x+y+z)^{\frac{4}{3}}\big) é conservativo; em caso afirmativo encontrar uma função potencial f e calcular \displaystyle \int_{(0,0,0)}^{(a,b,c)}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passo 2
Parametrização da curva C e cálculo de ds.
Como C é a circunferência de raio 2 no plano z=4, escolho a parametrização usual
Interpretação rápida (pedacinho didático): por simetria, ao percorrer toda a circunferência completa, as contribuições de x e de y se cancelam, então a integral de x+y ao longo de uma volta completa dá zero. A conta acima mostra isso explicitamente.
Passo 5
Começando a segunda parte: verificar se \vec{F} é conservativo.
Defino S=x+y+z e g(S)=S^{\frac{4}{3}}. Então \vec{F}=(g(S),g(S),g(S)).
Uma condição prática: se as derivadas parciais de \vec{F} são contínuas em um domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^{3}) e o rotacional de \vec{F} é nulo, então \vec{F} é conservativo.
Calculo as derivadas parciais. Como g depende só de S e \partial S/\partial x=\partial S/\partial y=\partial S/\partial z=1, temos
e análogamente todas as combinações relevantes produzem o mesmo g'(S). Assim o rotacional é nulo porque as diferenças de derivadas mistas cancelam:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
Sobre continuidade de g'(S): g'(S)=\dfrac{4}{3}S^{\frac{1}{3}}, que é contínua para todo S\in\mathbb{R} (a raiz cúbica é bem definida para negativos). Logo as derivadas parciais são contínuas em \mathbb{R}^{3}.
Conclusão: como o rotacional é zero e o domínio é simplesmente conexo, \vec{F} é conservativo.
Passo 6
Determinar uma função potencial f.
Queremos f tal que \nabla f=\vec{F}. Começo integrando \dfrac{\partial f}{\partial x}= (x+y+z)^{\frac{4}{3}} em relação a x, tratando y,z como constantes:
f(x,y,z)=\int (x+y+z)^{\frac{4}{3}}\,dx.
Faço a substituição u=x+y+z, então du=dx (porque y,z constantes). Assim
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y,z.
Para determinar C(y,z), uso a condição \dfrac{\partial f}{\partial y}=(x+y+z)^{\frac{4}{3}}. Calculo \dfrac{\partial}{\partial y} de \dfrac{3}{7}(x+y+z)^{\frac{7}{3}}: