Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n} x^{n}}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em zero
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n} x^{n}}{n \sqrt{n}}
e pede duas coisas:
  • o raio de convergência R;
  • o intervalo de convergência (isto é, os valores reais de x para os quais a série converge, incluindo ou não os extremos).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • o coeficiente geral da potência é a_n=\dfrac{(-3)^{n}}{n\sqrt{n}};
  • portanto o termo geral da série é a_n x^n.

Passo 2

Escolha do método: para obter o raio de convergência de uma série de potências é conveniente usar a fórmula de Cauchy–Hadamard (ou o teste da raiz), porque envolve diretamente a \nth-root{} dos coeficientes e aqui há um fator exponencial 3^{n} que simplifica com a \nth-root{}. A fórmula diz:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explicando: a_n é o coeficiente (aqui sem o x^n); |a_n|^{1/n} é a \nth-root{} do módulo desse coeficiente; o limite superior quando n\to\infty fornece, invertido, o raio R.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.
Primeiro escrevo o módulo do coeficiente:
|a_n|=\frac{3^{n}}{n^{3/2}}.
Agora a \nth-root{}:
|a_n|^{1/n}= \frac{3}{n^{3/(2n)}}.
Vamos estudar o fator n^{3/(2n)}. Tome logaritmo (para ver o comportamento):
\ln\!\big(n^{3/(2n)}\big)=\frac{3}{2n}\ln n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
porque \ln n cresce mais lento que n. Assim n^{3/(2n)}\to e^{0}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=3.
Consequentemente, pela fórmula de Cauchy–Hadamard,
R=\frac{1}{3}.

Passo 4

Com o raio R=\dfrac{1}{3} sabemos que a série converge (pelo menos) para |x|<\dfrac{1}{3} e diverge para |x|>\dfrac{1}{3}. Ainda é preciso verificar os dois extremos x=\pm\dfrac{1}{3} separadamente para decidir se eles pertencem ou não ao intervalo de convergência.

Passo 5

Teste do extremo x=\dfrac{1}{3}.
Substituindo x=\dfrac{1}{3} no termo geral:
\frac{(-3)^{n} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}}{n\sqrt{n}} = \frac{(-1)^{n}}{n^{3/2}}.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3/2}}.
A série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}},
que é uma série-p com p=\tfrac{3}{2}>1, portanto converge. Como a série de valores absolutos converge, a série original converge absolutamente em x=\tfrac{1}{3}. Logo o extremo x=\tfrac{1}{3} pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Teste do extremo x=-\dfrac{1}{3}.
Substituindo x=-\dfrac{1}{3} no termo geral:
\frac{(-3)^{n} \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n}}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}},
pois ( -3)(-1/3)=1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}},
que, como já observado, é uma série-p com p=\tfrac{3}{2}>1 e portanto converge. Assim a série converge (na verdade, absolutamente) em x=-\tfrac{1}{3}. Logo o extremo x=-\tfrac{1}{3} também pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Conclusão das verificações: a série tem raio R=\dfrac{1}{3} e converge absolutamente em todo o intervalo fechado \left[-\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{3}\right].

Resposta

R=\dfrac{1}{3}
\left[-\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{3}\right]

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