Determinar o intervalo de convergência (no eixo real).
Informações úteis extraídas do enunciado:
O termo geral da série é \dfrac{x^{n}}{3\cdot5\cdots(2n-1)}.
A expressão 3\cdot5\cdots(2n-1) é o produto dos ímpares até 2n-1; é conveniente notar que esse produto coincidirá com o double-factorial (2n-1)!!=\;1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) (incluir o 1 não altera o produto). Portanto podemos escrever o denominador como (2n-1)!!.
Passo 2
Escolhemos usar o teste da razão (dica: é o método natural para séries de potências com fatores entre vizinhos). Vou primeiro explicar o teste da razão de forma didática.
Teste da razão (explicação):
Para uma série \sum_{n=1}^\infty b_n (com b_n complexos ou reais), define-se
se esse limite existir (ou usar \limsup no caso geral).
Se L<1, a série \sum b_n converge absolutamente.
Se L>1, diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
No caso de uma série de potências \sum a_n x^n aplicamos o teste da razão aos termos b_n=a_n x^n. O raio de convergência R é o número tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R; usando o teste da razão, se