Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{3\cdot5\cdots(2n-1)}.
O que é pedido:
  • Encontrar o raio de convergência da série.
  • Determinar o intervalo de convergência (no eixo real).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{x^{n}}{3\cdot5\cdots(2n-1)}.
  • A expressão 3\cdot5\cdots(2n-1) é o produto dos ímpares até 2n-1; é conveniente notar que esse produto coincidirá com o double-factorial (2n-1)!!=\;1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) (incluir o 1 não altera o produto). Portanto podemos escrever o denominador como (2n-1)!!.

Passo 2

Escolhemos usar o teste da razão (dica: é o método natural para séries de potências com fatores entre vizinhos). Vou primeiro explicar o teste da razão de forma didática.
Teste da razão (explicação):
  • Para uma série \sum_{n=1}^\infty b_n (com b_n complexos ou reais), define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|
se esse limite existir (ou usar \limsup no caso geral).
  • Se L<1, a série \sum b_n converge absolutamente.
  • Se L>1, diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
No caso de uma série de potências \sum a_n x^n aplicamos o teste da razão aos termos b_n=a_n x^n. O raio de convergência R é o número tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R; usando o teste da razão, se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho,
então o raio é R=\dfrac{1}{\rho} (com a convenção R=\infty se \rho=0).

Passo 3

Identificamos os coeficientes da série de potências. Seja
a_n=\frac{1}{3\cdot5\cdots(2n-1)}=\frac{1}{(2n-1)!!}, \qquad\text{então}\qquad b_n=a_n x^n=\frac{x^n}{(2n-1)!!}.ã
Agora calculamos a razão \left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = \left|\frac{x^{\,n+1}/(2(n+1)-1)!!}{x^{\,n}/(2n-1)!!}\right| = |x|\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)!!}.
Usando a relação (2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)!! obtemos
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = |x|\cdot\frac{1}{2n+1}.

Passo 4

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{2n+1}=0,
porque \dfrac{|x|}{2n+1}\to0 para todo x fixo ao fazer n\to\infty.
Interpretação pelo teste da razão:
  • Como L=0<1 para qualquer valor fixo de x, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
  • Pelo critério do raio, isso significa que a constante \rho=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0, então o raio de convergência é
R=\frac{1}{\rho}=\infty.

Passo 5

Conclusão sobre o intervalo de convergência:
  • Se o raio R=\infty, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Logo o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).
  • Não há necessidade de checar “endpoints” porque aqui não há endpoints finitos: todos os reais já estão incluídos.

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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