Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{(1+x)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{1}{(1+x)^{3}}
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma representação em série de potências (centrada em 0, a saber, uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n).
  • Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \dfrac{1}{(1+x)^{3}}.
  • Não foi indicado outro centro, então iremos procurar a série de potências em torno de x=0 (série de Maclaurin).
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Escolha do método: há duas maneiras naturais e elementares para obter essa série:
  1. Usar a fórmula da série geométrica e depois diferenciar termo a termo até obter a potência (1+x)^{-3}.
  2. Usar a série binomial generalizada (1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^n com \alpha=-3.
Vou usar a opção 1 (geometria + diferenciação) porque é bem direta, usa somente a série geométrica básica que já se conhece bem, e a diferenciação de séries de potências dentro do raio de convergência é legal (permite obter coeficientes de forma explícita). Essa abordagem é fácil de memorizar e aplicar rapidamente na prova.

Passo 3

Lembrete e justificativa: a série geométrica é
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n,\qquad\text{válida para }\\ |t|<1.á
Esta igualdade é a expansão em série de potências da função (1+t)^{-1} centrada em 0. Uma propriedade importante: dentro do raio de convergência ( |t|<1), pode-se derivar e integrar a série termo a termo: a série resultante representa a derivada ou primitiva da função original, com o mesmo raio de convergência.
Aplicando essa série com t=x (já que queremos em torno de 0):
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n,\qquad |x|<1.

Passo 4

Derivando uma vez (termo a termo) para obter (1+x)^{-2}:
derivada à esquerda: \dfrac{d}{dx}(1+x)^{-1}=- (1+x)^{-2}.
derivada à direita: \dfrac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n x^{n-1}.
Igualando e multiplicando por -1:
(1+x)^{-2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{n-1}.

Passo 5

Derivando novamente (termo a termo) para obter (1+x)^{-3}:
derivada à esquerda: \dfrac{d}{dx}(1+x)^{-2}=-2(1+x)^{-3}.
derivada à direita: \dfrac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{n-1}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} n (n-1) x^{n-2} (o termo n=1 se anula porque n-1=0).
Portanto
-2(1+x)^{-3}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} n (n-1) x^{n-2}.
Multiplicando ambos os lados por -\tfrac{1}{2}:
(1+x)^{-3}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} n (n-1) x^{n-2}.

Passo 6

Mudar o índice para escrever a soma como potências de x^k com k começando em 0. Faça k=n-2, então n=k+2 e quando n=2 temos k=0. Substituindo:
(1+x)^{-3}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+2}(k+2)(k+1)x^{k}.
Como (-1)^{k+2}=(-1)^k, obtemos a forma limpa:
\frac{1}{(1+x)^3}=(1+x)^{-3}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+2)(k+1)x^{k},\qquad |x|<1.

Passo 7

Vamos escrever essa série com a notação padrão \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. Tomando n=k:
\boxed{\frac{1}{(1+x)^3}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\quad\text{com}\quad a_n=\frac{(-1)^n}{2}(n+1)(n+2).}
Ou explicitamente:
\frac{1}{(1+x)^3}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1)(n+2)\,x^n,\qquad |x|<1.

Passo 8

Determinar o raio de convergência R. Use o teste da razão na forma para a série \sum a_n x^n com a_n=\dfrac{(-1)^n}{2}(n+1)(n+2).
Calcule
\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| =|x|\cdot\frac{(n+2+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)} =|x|\cdot\frac{n+3}{n+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}|x|\frac{n+3}{n+1}=|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for <1, isto é, se |x|<1. Assim o raio de convergência é
\boxed{R=1.}

Passo 9

Verificar a convergência nos extremos do intervalo [-1,1].
  • Para x=1, os termos da série são
a_n 1^n=\frac{(-1)^n}{2}(n+1)(n+2).
Esses termos não tendem a zero (na verdade têm tamanho que cresce como \sim\tfrac{1}{2}n^2), portanto a série não pode convergir. Logo diverge em x=1.
  • Para x=-1, os termos da série são
a_n(-1)^n=\frac{(-1)^n}{2}(n+1)(n+2)\cdot(-1)^n=\frac{1}{2}(n+1)(n+2),
que são positivos e crescentes (comportamento \sim\tfrac{1}{2}n^2), novamente não tendem a zero, logo a série diverge em x=-1.
Portanto ambos os extremos estão fora da convergência da série.

Passo 10

Conclusão sobre o intervalo de convergência: como a série converge para |x|<1 e diverge em x=\pm1, o intervalo de convergência (no eixo real) é
\boxed{(-1,\,1).}

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1+x)^3}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1)(n+2)\,x^n para |x|<1.
R=1.
Intervalo de convergência: (-1,\,1).

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