Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio e o intervalo de convergência. f(x)=\frac{1}{(1+x)^{3}}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\frac{1}{(1+x)^{3}}
e pede duas coisas:
Encontrar uma representação em série de potências (centrada em 0, a saber, uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n).
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas:
A função é \dfrac{1}{(1+x)^{3}}.
Não foi indicado outro centro, então iremos procurar a série de potências em torno de x=0 (série de Maclaurin).
Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Escolha do método: há duas maneiras naturais e elementares para obter essa série:
Usar a fórmula da série geométrica e depois diferenciar termo a termo até obter a potência (1+x)^{-3}.
Usar a série binomial generalizada (1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^n com \alpha=-3.
Vou usar a opção 1 (geometria + diferenciação) porque é bem direta, usa somente a série geométrica básica que já se conhece bem, e a diferenciação de séries de potências dentro do raio de convergência é legal (permite obter coeficientes de forma explícita). Essa abordagem é fácil de memorizar e aplicar rapidamente na prova.
Passo 3
Lembrete e justificativa: a série geométrica é
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n,\qquad\text{válida para }\\ |t|<1.
Esta igualdade é a expansão em série de potências da função (1+t)^{-1} centrada em 0. Uma propriedade importante: dentro do raio de convergência (|t|<1), pode-se derivar e integrar a série termo a termo: a série resultante representa a derivada ou primitiva da função original, com o mesmo raio de convergência.
Aplicando essa série com t=x (já que queremos em torno de 0):
Derivando uma vez (termo a termo) para obter (1+x)^{-2}:
derivada à esquerda: \dfrac{d}{dx}(1+x)^{-1}=- (1+x)^{-2}.
derivada à direita: \dfrac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n x^{n-1}.
Igualando e multiplicando por -1:
(1+x)^{-2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{n-1}.
Passo 5
Derivando novamente (termo a termo) para obter (1+x)^{-3}:
derivada à esquerda: \dfrac{d}{dx}(1+x)^{-2}=-2(1+x)^{-3}.
derivada à direita: \dfrac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{n-1}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} n (n-1) x^{n-2} (o termo n=1 se anula porque n-1=0).
Portanto
-2(1+x)^{-3}=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} n (n-1) x^{n-2}.
Multiplicando ambos os lados por -\tfrac{1}{2}:
(1+x)^{-3}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} n (n-1) x^{n-2}.
Passo 6
Mudar o índice para escrever a soma como potências de x^k com k começando em 0. Faça k=n-2, então n=k+2 e quando n=2 temos k=0. Substituindo: