Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} x^{n}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede: encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} x^{n}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n}.
Informação dada: o termo geral é \displaystyle \frac{n^{2} x^{n}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n}. Nada mais foi fornecido (nenhuma condição extra), portanto vamos trabalhar diretamente com esse termo.
Passo 2
Simplificar o produto do denominador para uma forma conhecida.
O denominador é o produto dos primeiros n pares:
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=\prod_{k=1}^{n} 2k.
Cada fator 2k pode ser separado em 2 vezes k; retirando um fator 2 de cada um dos n fatores obtemos
Essa forma mostra claramente um fator \left(\dfrac{x}{2}\right)^{n} multiplicando uma sequência envolvendo n!, o que indica que o crescimento rápido de n! deve garantir boa convergência — mas vamos provar isso formalmente com um teste.
Passo 4
Apresentar o teste que vamos usar (Teste da razão) e por que ele é adequado.
O Teste da Razão diz: para uma série \sum c_n, se
existe, então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1, e o teste é inconclusivo se L=1.
É adequado aqui porque temos um termo com fator n! no denominador e potências de x, e o quociente c_{n+1}/c_n simplifica bem (muitas coisas se cancelam).
Passo 5
Aplicar o Teste da Razão ao termo geral.
Tomando c_n=\dfrac{n^{2} x^{n}}{2^{n} n!} (o sinal já está tratado pelo valor absoluto), calculamos:
para todo x fixo (porque \dfrac{n+1}{2n^{2}}\to 0). Assim o valor L do Teste da Razão é 0, independentemente de x.
Passo 7
Concluir a partir do Teste da Razão sobre convergência e raio.
Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente para todo x. Logo o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
O intervalo de convergência (no caso de uma série de potências em x real) é todo o eixo real:
(-\infty,\infty).
Passo 8
Comentário didático extra (intuição e um exemplo comparativo).
Intuição rápida: ao escrever o termo como \dfrac{n^{2}}{n!}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n}, percebe-se que o fator n! no denominador cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial n^{2} e também supera a potência \left(\dfrac{|x|}{2}\right)^{n}. Por exemplo, a série \sum \dfrac{t^{n}}{n!} converge para todo t (é a série da exponencial e^{t}); multiplicar os termos por um polinômio em n (como n^{2}) não afeta a convergência para todo t. Isso confirma o resultado do teste da razão com uma visão mais intuitiva.
Força aí — essa questão é quase sempre solucionada assim na prova: reconhecer o 2^n n! e aplicar o teste da razão.
Resposta
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)