Encontre as raízes dos polinômios a seguir e escreva-os na forma fatorada.
q(x)=x^{3}-4 x^{2}-17 x+60

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio
q(x)=x^{3}-4x^{2}-17x+60
e escrevê-lo na forma fatorada. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para testar possíveis raízes inteiras e depois fazer divisão sintética para decompor em fatores lineares.

Passo 2

Pelos divisores de 60, as possíveis raízes racionais são
\pm1,\\ \pm2,\\ \pm3,\\ \pm4,\\ \pm5,\\ \pm6,\\ \pm10,\\ \pm12,\\ \pm15,\\ \pm20,\\ \pm30,\\ \pm60.
Testando rapidamente, temos
q(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}-17\cdot3+60=27-36-51+60=0,
logo x=3 é raiz de q(x).

Passo 3

Fazendo divisão sintética de q(x) por (x-3):
Coeficientes: 1,\;-4,\;-17,\;60
            3 │ 1  -4  - 17603  -3  -60
             ————————————————
              1  -1  - 200
O quociente é x^{2}-x-20.

Passo 4

Agora fatoramos
x^{2}-x-20=(x-5)(x+4),
cujo zero em cada fator é x=5 e x=-4.

Resposta

q(x)=(x-3)(x-5)(x+4)

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