3.5 Encontre a relação entre as constantes
e
da equação de Dieterici e as constantes críticas. (Note que isso não pode ser feito igualando as trếs raízes da equação.)
Passo 1
O enunciado pede para relacionar as constantes
e
da equação de Dieterici com as constantes críticas. As informações que temos são:
- A equação de Dieterici (para volume molar
) é
onde
é a pressão,
é a temperatura,
é a constante dos gases, e
são constantes do modelo.
- O que se quer: expressar
e (ou relacioná-los) em termos das constantes críticas (temperatura crítica, pressão crítica e volume crítico).
Passo 2
Condição do ponto crítico (explicação didática): no ponto crítico a isoterma tem um ponto de inflexão horizontal quando vista como
em função de
à temperatura crítica
. Isso significa, matematicamente:
Vou usar essas duas condições para obter equações que ligam
com
(e depois
).
Passo 3
É mais simples manipular o logaritmo da pressão. Defina
Derivando em relação a
(mantendo
fixo) obtemos
No ponto crítico essa derivada deve ser zero (e
), logo
Isolando obtemos a primeira relação útil:
Passo 4
Agora derivamos a expressão de
novamente para aplicar a condição da segunda derivada nula. A segunda derivada de
é
No ponto crítico isso também deve ser zero:
Agora substituímos
obtido no passo anterior para eliminar
. Pela equação do passo 3 temos
. Substituindo na equação acima:
Simplificando o segundo termo:
Multiplicando por
:
Isolando:
logo
Passo 5
Com
voltamos à relação do passo 3:
Portanto
Passo 6
Agora obtemos
substituindo
e
na equação de estado. Usando
e
,
Calcule cada parte:
, e
O expoente é
Logo
Também é útil expressar
e
em função de
e
. Da expressão de
podemos isolar
:
e então
Passo 7
Resumo conceitual curto: usando as condições de ponto de inflexão da isoterma crítica e trabalhando com
(que facilita derivadas), consegui primeiro uma relação entre
e
, depois a segunda condição eliminou
e deu
. Substituindo de volta obtive
e, finalmente,
.